Теорема Стюарта

Рис. 1

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Она утверждает, что если точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, то

$A{D}^2=p^2=b^2\frac{x}{a}+c^2\frac{y}{a}-xy,$

где $y=CD$, $x=BD$ и $a=x+y=BC$ (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.

Доказательства

Через произведение векторов

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения. Представим вектор $\overrightarrow{AD},$ длина которого искома, двумя способами:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.$

Первое уравнение домножим на длину $CD$, а второе — на $BD:$

$\overrightarrow{AD}\cdot CD=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{BD}\cdot CD,$

$\overrightarrow{AD}\cdot BD=\overrightarrow{AC}\cdot BD+\overrightarrow{CD}\cdot BD.$

Теперь сложим полученные уравнения:

$\overrightarrow{AD}\cdot BC=(\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{BD}\cdot CD)+(\overrightarrow{AC}\cdot BD+\overrightarrow{CD}\cdot BD),$

где $\overrightarrow{BD}\cdot CD+\overrightarrow{CD}\cdot BD=0,$ так как $\overrightarrow{BD}\cdot CD$ и $\overrightarrow{CD}\cdot BD$ имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор $\overrightarrow{AD}$ равен

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\frac{CD}{BC}+\overrightarrow{AC}\frac{BD}{BC}.$

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора $\overrightarrow{AD}$ на самого себя:

${\left(\overrightarrow{AD}\right)}^2={\left(\overrightarrow{AB}\right)}^2{\left(\frac{CD}{BC}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{AC}\right)}^2{\left(\frac{BD}{BC}\right)}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\cdot \frac{CD}{BC}\cdot \frac{BD}{BC}.$

Далее, чтобы выразить $2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ через длины, нужно найти $(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}{)}^2:$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},$

$B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+A{B}^2,$

$2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2.$

Отсюда окончательно получается, что

$A{D}^2=A{B}^2\frac{C{D}^2}{B{C}^2}+A{C}^2\frac{B{D}^2}{B{C}^2}+(A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2)\frac{CD}{BC}\cdot \frac{BD}{BC},$

$A{D}^2=A{B}^2\cdot \frac{CD}{BC}+A{C}^2\cdot \frac{BD}{BC}-CD\cdot BD.$

Через теорему косинусов

Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы $\mathrm{\angle }ADB$ и $\mathrm{\angle }ADC,$ смежные друг другу:

$A{B}^2=B{D}^2+A{D}^2-2AD\cdot BD\cos \mathrm{\angle }ADB,$

$\begin{array}{rl}A{C}^2& =A{D}^2+D{C}^2-2AD\cdot DC\cos \mathrm{\angle }ADC=\\ & =A{D}^2+D{C}^2+2AD\cdot DC\cos \mathrm{\angle }ADB.\\ \end{array}$

Умножим первое уравнение на $DC$, а второе — на $BD:$

$\{\begin{array}{l}A{B}^{2}DC=B{D}^{2}DC+A{D}^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \mathrm{\angle }ADB,\\ A{C}^{2}BD=A{D}^{2}BD+D{C}^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \mathrm{\angle }ADB,\end{array}$

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

$A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD=(B{D}^{2}DC+A{D}^{2}DC)+(A{D}^{2}BD+D{C}^{2}BD),$

$A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD-B{D}^{2}DC-D{C}^{2}BD=A{D}^2(DC+BD),$

$A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=A{D}^2(DC+BD),$

$A{B}^2\cdot \frac{CD}{BC}+A{C}^2\cdot \frac{BD}{BC}-BD\cdot CD=A{D}^2.$

История

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение

• Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана вырождается в медиану, — это теорема Аполлония.
• Следствием теоремы Стюарта также является теорема Птолемея.^{[прояснить]}

Обобщение

• Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

Литература

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
• Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.