Теорема Микеля

Рисунок, показывающий три окружности, проходящие через вершины треугольника ABC и точки A´, B´ и C´, лежащие на смежных сторонах треугольника и пересекающиеся в общей точке M.

Теорема Микеля для различных треугольников

Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика Огюста Микеля. Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées.

Формулировка

Пусть $ABC$ — треугольник с произвольными точками $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ соответственно на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $A^{\prime }B{C}^{\prime }$, и $A^{\prime }{B}^{\prime }C.$ Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке $M$, называемой точкой Микеля. Более того, будут равны друг другу три угла $\mathrm{\angle }M{A}^{\prime }B,\mathrm{\angle }M{B}^{\prime }C,\mathrm{\angle }M{C}^{\prime }A$ (отмечены на рисунке).

Частный случай

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. также

• Точка Микеля — другой результат Микеля

Литература

• Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, vol. 19, New Mathematical Library, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2 
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson 
• Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3 
• Pedoe, Dan (1988), Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3 
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6