Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой $(X,{ℱ},\mu )$ так, что $\mu (X)<\mathrm{\infty }$, и определённая на нём последовательность измеримых функций $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, сходящаяся почти всюду к $f$. Тогда для любого $\epsilon >0$ существует множество $X_{\epsilon }\subset X$ такое, что $\mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon$, и последовательность $\{f_n\}$ равномерно сходится к $f$ на $X_{\epsilon }$.

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность $\mu (X)$ принципиальна. Пусть, например, $(X,{ℱ},\mu )=(\mathbb{ℝ},{ℬ}(\mathbb{ℝ}),m)$, где ${ℬ}(\mathbb{ℝ})$ — борелева σ-алгебра на $\mathbb{ℝ}$, а $m$ — мера Лебега. Заметим, что $m(\mathbb{ℝ})=\mathrm{\infty }$. Пусть $f_n(x)={\mathbf{𝟏}}_{[n,n+1]}(x),x\in \mathbb{ℝ},n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, где ${\mathbf{𝟏}}_A$ обозначает индикатор-функцию множества $A$. Тогда $\{f_n\}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.

• Теорема Лузина

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Dmitri Egoroff, Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris,(1911) 152:135–157.
• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.