Система корней

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение[править]

Пусть $V$ — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым $(\cdot, \cdot)$ . Система корней в $V$ — это конечное множество $Φ$ ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для $⟨ α, β ⟩$ заставляет $β$ лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для $⟨ α, β ⟩$ сводит возможные углы между $α$ и $β$ не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

$V$ является линейной оболочкой системы корней.
Если два корня $α \in Φ$ , $β \in Φ$ являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо $β = - α .$
Для каждого корня $α \in Φ$ множество $Φ$ замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной $α .$ То есть для любых двух корней $α$ и $β$ множество $Φ$ содержит отражение $β$
$σ_{α} (β) = β - 2 \frac{(α, β)}{(α, α)} α \in Φ .$
(Целостное условие). Если $α$ и $β$ — корни в $Φ,$ то проекция $β$ на прямую, проходящую через $α,$ есть полуцелое, кратное $α .$ То есть
$⟨ β, α ⟩ = 2 \frac{(α, β)}{(α, α)} \in ℤ .$

Замечания[править]

С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между $β$ и его отражением $σ_{α} (β)$ равна корню $α$ , умноженному на некоторое целое число.
Оператор
$⟨ \cdot, \cdot ⟩ : Φ \times Φ \to ℤ$ ,

определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность $V$ называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по схемам Дынкина[править]

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2[править]

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов ${α, - α} .$ Эта система называется $A_{1} .$

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта $σ_{α} (β) = β + n α,$ где $n = 0, 1, 2, 3 .$

**Система корней ранга 2**

Система корней $A_{1} \times A_{1}$	Система корней $A_{2}$

Система корней $B_{2}$	Система корней $G_{2}$

См. также[править]

E8 (математика)

Ссылки[править]

Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, № 4(20). — С. 59–127.
Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), № 3. — С. 347–352.
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.