Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Формулировка

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке $f:[a,b]\subset \mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ},f\in C^0([a,b]).$ Тогда существуют $c,d\in \mathbb{ℝ}$ такие, что

$f([a,b])=[c,d].$

Замечания

• Если функция $f$ постоянна, то $c=d.$
• Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ},$ заданную формулой

  $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \left(\frac{\pi }{2x}\right),& x\in (0,1]\\ 0,& x=0\end{array}.$

Тогда функция $f$ обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке $x=0.$

• Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Свойство Дарбу для монотонных функций

Пусть функция $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Обобщение

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть $F:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ — дифференцируемая внутри области определения, то есть $F\in {𝒟}((a,b)),$ и $F^{\prime }(x)=f(x),x\in (a,b),$ а также дифференцируема справа в точке $a$: $F{\text{'}}_{+}(a)=f_{+}(a)$ и слева в точке $b$: $F{\text{'}}_{-}(b)=f_{-}(b).$ Тогда $f([a,b])$ является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).

См. также

• Линейно связное пространство;
• Теорема Больцано — Коши;
• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте;
• Лемма Ферма.