Ряд Штурма

Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма^[⇨].

Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма, определившего ряд и его свойства, а также разработавшего конструктивный способ построения такого ряда в 1829 году.

Определение[править]

Рассмотрим многочлен $f (x)$ с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами:

f_{0} (x), f_{1} (x), . . ., f_{s} (x)

называется рядом Штурма для многочлена $f (x)$ , если выполнены следующие условия:

множества корней $f_{0}$ и $f$ совпадают;
$f_{s} (x)$ не имеет вещественных корней;
если $f_{k} (c) = 0$ и $1 ⩽ k ⩽ s - 1$ , то $f_{k - 1} (c) f_{k + 1} (c) < 0$ ;
если $f (c) = 0$ , то произведение $f_{0} (c) f_{1} (c)$ меняет знак с минуса на плюс, когда $x$ , возрастая, проходит через точку $c$ , то есть когда существует такое $δ > 0$ , что $f_{0} (x) f_{1} (x) < 0$ для $x \in (c - δ, c)$ и $f_{0} (x) f_{1} (x) > 0$ для $x \in (c, c + δ)$ .

Значением ряда Штурма в точке $c$ называется количество смен знака в последовательности $f_{0} (c), f_{1} (c), . . ., f_{s} (c)$ после исключения нулей.

Иногда ряд Штурма также определяют как построенный определённым образом^[⇨] ряд Штурма.

Теорема Штурма[править]

Пусть $f (x)$ — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, $f_{0} (x), f_{1} (x), . . ., f_{s} (x)$ — некоторый ряд Штурма для него, $[a, b]$ — промежуток вещественной прямой, причём $f (a) f (b) \neq 0$ . Тогда число различных корней многочлена $f (x)$ на промежутке $[a, b]$ равно $W (a) - W (b)$ , где $W (c)$ — значение ряда Штурма в точке $c$ .

Построение[править]

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена.

Пусть многочлен $f (x)$ , отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

$f_{0} (x) = f (x)$ ;
$f_{1} (x) = {f_{0}}^{'} (x)$ ;
Если $f_{k} (x)$ ( $k > 0$ ) имеет корни, то $f_{k + 1} (x) = - f_{k - 1} (x) {mod f}_{k} (x)$ , где $f (x) mod g (x)$ — остаток от деления многочлена $f (x)$ на многочлен $g (x)$ в кольце многочленов $ℝ [x]$ , иначе $s = k$ и построение заканчивается.

Для произвольного многочлена (возможно с кратными корнями), отличающегося от константы, можно положить:

f_{0} (x) = \frac{f (x)}{(f (x), f^{'} (x))}

,

и далее следовать приведенному выше способу. Здесь $(f (x), f^{'} (x))$ — наибольший общий делитель многочленов $f (x)$ и $f^{'} (x)$ .

Если многочлен $f (x)$ есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена $f_{0} (x) = f (x)$ .

Применение[править]

Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке (см. теорему Штурма). Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Пример[править]

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена $f (x) = (x - 1) (x - 3) = x^{2} - 4 x + 3$

Многочлен $f_{i} (x)$	Знак многочлена в точке
Многочлен $f_{i} (x)$	$- \infty$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$+ \infty$
$f_{0} (x) = x^{2} - 4 x + 3$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$
$f_{1} (x) = 2 x - 4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f_{2} (x) = 1$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
Значение ряда в точке	$2$	$2$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$

Таким образом, по теореме Штурма^[⇨] число корней многочлена $f (x)$ равно:

$2 - 0 = 2$ на промежутке $(- \infty, + \infty)$
$2 - 0 = 2$ на промежутке $(0, 4)$
$2 - 1 = 1$ на промежутке $(0, 2)$

См. также[править]

Литература[править]

Кострикин А. И. Введение в алгебру, ч. 1 «Основы алгебры», изд. 2 исправленное, — Физматлит, Москва, 2004.
Шафаревич И. Р. О решении уравнений высших степеней (метод Штурма). — М.: Гостехиздат, 1954.
Штурма теорема — статья из Математической энциклопедии. Проскуряков И. В.