Ряд Фантапье

Ряд Фантапье — разложение аналитического функционала в ряд, аналогичный ряду Тейлора, в некоторой окрестности области его определения. Введён в науку Л. Фантапье в 1930 г.

Определение

Пусть $F[y(t)]$ - аналитический функционал, $y(t)$ - некоторая функция действительного переменного $t$, на которой он задан. Всякий аналитический функционал в окрестности его области определения можно разложить в абсолютно сходящийся ряд, аналогичный ряду Тейлора:

$F[y(t)+\varphi (t)]=F[y(t)]+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{F}^{(n)}[y(t);{\alpha }_1^{*},{\alpha }_2^{*},...,{\alpha }_n^{*}]\varphi ({\alpha }_1{)}_{*}\varphi ({\alpha }_2{)}_{*}...\varphi ({\alpha }_n{)}_{*})$

Здесь $F^{(n)}[y(t);{\alpha }_1^{*},{\alpha }_2^{*},...,{\alpha }_n^{*}]={\left\{\frac{{\partial }^n}{{\partial }_{{ϵ}_1}{\partial }_{{ϵ}_2}...{\partial }_{{ϵ}_n}}F[y(t)+\frac{{ϵ}_1}{{\alpha }_1-t}+\frac{{ϵ}_2}{{\alpha }_2-t}+...+\frac{{ϵ}_n}{{\alpha }_n-t}]\right\}}_{{ϵ}_1={ϵ}_2=...={ϵ}_n=0}$ - производная n-го порядка от функционала $F$ по $y$ в точке $\alpha$, символ $*$ обозначает интеграл вдоль замкнутого пути.

Литература

• Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 509 с.