Механическая работа

Работа
Работа
	A,W
Размерность	L2MT−2
Единицы измерения
СИ	Дж
СГС	эрг
Примечания
	скалярная величина

Механи́ческая рабо́та — физическая величина — скалярная количественная мера действия силы (равнодействующей сил) на тело или сил на систему тел. Зависит от численной величины и направления силы (сил) и от перемещения тела (системы тел)^[1].

При постоянной силе и прямолинейном движении материальной точки, работа рассчитывается как произведение величины силы на перемещение и на косинус угла между векторами перемещения и силы: $A = F s \cos (F, s)$ . В более сложных случаях (непостоянная сила, криволинейное движение) это соотношение применимо к малому промежутку времени, а для вычисления полной работы необходимо суммирование по всем таким промежуткам.

В механике совершение работы над телом является единственной причиной изменения его энергии; в других областях физики энергия изменяется и за счёт иных факторов (например, в термодинамике — теплообмена).

Определение работы[править]

По определению, «элементарная» (совершаемая за бесконечно малое время) работа — скалярное произведение действующей на материальную точку силы $\vec{F}$ на перемещение $d \vec{s}$ , то есть

δ A = \vec{F} \cdot d \vec{s}

.

Использование символа δ (а не $d$ ) обусловлено тем, что дифференциал работы не обязательно полный. Работа за конечный промежуток времени — интеграл элементарной работы:

A = \int δ A

.

Если имеется система материальных точек, выполняется суммирование по всем точкам. При наличии нескольких сил их работа определяется как работа равнодействующей (векторной суммы) этих сил.

Обозначения, размерность[править]

Работа обычно обозначается заглавной буквой $A$ (от нем. Arbeit — работа, труд) или заглавной буквой $W$ (от англ. work — работа, труд).

Единицей измерения (размерностью) работы в Международной системе единиц (СИ) является джоуль, в СГС — эрг. При этом

1 Дж = 1 кг·м²/с² = 1 Н·м;

1 эрг = 1 г·см²/с² = 1 дин·см;

1 эрг = 10⁻⁷ Дж.

Вычисление работы[править]

Случай одной материальной точки[править]

При прямолинейном движении материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы, работа (этой силы) равна произведению проекции вектора силы на направление движения и длины вектора перемещения, совершённого точкой:

A = F_{s} s = F s c o s (F, s) = \vec{F} \cdot \vec{s}

Здесь « $\cdot$ » обозначает скалярное произведение, $\vec{s}$ — вектор перемещения. Формулу механической работы можно выразить через внутреннее произведение векторов перемещения и силы:

A = ⟨ [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}], [\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}] ⟩ = s^{T} F = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = x_{1} y_{1} + \dots + x_{n} y_{n},

,

где $x_{1} \dots x_{n}$ - координаты вектора перемещения, $y_{1} \dots y_{n}$ - координаты вектора силы.

Если направление приложенной силы ортогонально перемещению тела или перемещение равно нулю, то работа этой силы равна нулю.

В общем случае, когда сила не постоянна, а движение не прямолинейно, работа вычисляется как криволинейный интеграл второго рода по траектории точки^[2]:

A = \int \vec{F} \cdot d \vec{s}

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из перемещений $d \vec{s}$ , если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат^[3], интеграл определяется^[4] следующим образом:

A = \int_{{\vec{r}}_{0}}^{{\vec{r}}_{1}} \vec{F} (\vec{r}) \cdot d \vec{r}

,

где ${\vec{r}}_{0}$ и ${\vec{r}}_{1}$ — радиус-векторы начального и конечного положения тела. Например, если движение происходит в плоскости $x y$ , а $\vec{F} = F_{x} {\vec{e}}_{x} + F_{y} {\vec{e}}_{y}$ и $d \vec{r} = d x {\vec{e}}_{x} + d y {\vec{e}}_{y}$ ( ${\vec{e}}_{x}$ , ${\vec{e}}_{y}$ — орты), то последний интеграл обретёт вид $A = \int (F_{x} + F_{y} | d y / d x |) d x$ , где производная $d y / d x$ берётся для кривой $y (x)$ , по которой движется точка.

Если сила $\vec{F}$ является консервативной (потенциальной), результат вычисления работы будет зависеть только от начального и финального положения точки, но не от траектории, по которой она перемещалась.

Случай системы точек или тела[править]

Работа сил по перемещению системы из $N$ материальных точек определяется как сумма работ этих сил по перемещению каждой точки (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в работу этих сил над системой):

A = \sum A_{n}, n = 1, 2, . ., N

.

Если тело не является системой дискретных точек, его можно разбить (мысленно) на множество бесконечно малых элементов (кусочков), каждый из которых можно считать материальной точкой, и вычислить работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл:

A = \int δ A ({\vec{r}}^{'}) = \iint \frac{d \vec{F} ({\vec{r}}^{'})}{d V^{'}} \cdot d \vec{r} ({\vec{r}}^{'}) d V^{'}

,

где $d A ({\vec{r}}^{'})$ — работа по перемещению бесконечно малого фрагмента объёма тела $d V^{'}$ , локализованного около координаты ${\vec{r}}^{'}$ (в системе отсчёта тела), от начального до финального положения, $d \vec{F} / d V^{'}$ (Н/м³) — плотность действующей силы, а интегрирование проводится по всему объёму тела.

Эти формулы могут быть использованы как для вычисления работы конкретной силы или класса сил, так и для вычисления полной работы, совершаемой всеми силами, действующими на систему.

Работа и кинетическая энергия[править]

Кинетическая энергия вводится в механике в прямой связи с понятием работы.

С использованием второго закона Ньютона, позволяющего выразить силу через ускорение как $\vec{F} = m \vec{a}$ (где $m$ — масса материальной точки), а также соотношений $d \vec{s} = d \vec{r} = \vec{v} d t$ и $d (v^{2}) / d t = d (\vec{v} \cdot \vec{v}) / d t = 2 \vec{a} \cdot \vec{v}$ , элементарная работа может быть переписана как

δ A = m \vec{a} \cdot \vec{v} d t = \frac{d}{d t} (\frac{m v^{2}}{2}) d t

.

При интегрировании от начального до финального момента получится

A = Δ (\frac{m v^{2}}{2}) = Δ E_{k}

,

где $E_{k}$ — кинетическая энергия. Для материальной точки она определяется как половина произведения массы этой точки на квадрат её скорости и выражается^[5] как $E_{k} = m v^{2} / 2$ . Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

Работа и потенциальная энергия[править]

Сила называется потенциальной, если существует скалярная функция координат, известная как потенциальная энергия и обозначаемая $E_{p}$ , такая, что

\vec{F} = - \nabla E_{p}

.

Здесь $\nabla$ — оператор набла. Если все силы, действующие на частицу, консервативны, и $E_{p}$ является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий, соответствующих каждой силе, то

\vec{F} \cdot d \vec{s} = - \nabla E_{p} \cdot d \vec{s} = - d E_{p} \Rightarrow - d E_{p} = d E_{k} \Rightarrow d (E_{k} + E_{p}) = 0

.

Данный результат известен как закон сохранения механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия

E = E_{k} + E_{p}

в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы, является постоянной во времени. Этот закон широко используется при решении задач классической механики.

Работа силы в теоретической механике[править]

Пусть материальная точка $M$ движется по непрерывно дифференцируемой кривой $G = {r = r (s)}$ , где s — переменная длина дуги, $0 \leq s \leq S$ , и на неё действует сила $F (s)$ , направленная по касательной к траектории в направлении движения (если сила не направлена по касательной, то будем понимать под $F (s)$ проекцию силы на положительную касательную кривой, таким образом сведя и этот случай к рассматриваемому далее).

Величина $F (ξ_{i}) △ s_{i}, △ s_{i} = s_{i} - s_{i - 1}, i = 1, 2, . . ., i_{τ}$ , называется элементарной работой силы $F$ на участке $G_{i}$ и принимается за приближённое значение работы, которую производит сила $F$ , воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит кривую $G_{i}$ . Сумма всех элементарных работ $\sum_{i = 1}^{i_{τ}} F (ξ_{i}) △ s_{i}$ является интегральной суммой Римана функции $F (s)$ .

В соответствии с определением интеграла Римана, можем дать определение работе:

Предел, к которому стремится сумма $\sum_{i = 1}^{i_{τ}} F (ξ_{i}) △ s_{i}$ всех элементарных работ, когда мелкость $| τ |$ разбиения $τ$ стремится к нулю, называется работой силы $F$ вдоль кривой $G$ .

Таким образом, если обозначить эту работу буквой $A$ , то, в силу данного определения,

A = \lim_{| τ | \to 0} \sum_{i = 1}^{i_{τ}} F (ξ_{i}) △ s_{i} = \int_{0}^{s} F (s) d s

.

Если положение точки на траектории её движения описывается с помощью какого-либо другого параметра $t$ (например, времени) и если величина пройденного пути $s = s (t)$ , $a \leq t \leq b$ является непрерывно дифференцируемой функцией, то из последней формулы получится

A = \int_{a}^{b} F [s (t)] s^{'} (t) d t

.

Работа в термодинамике[править]

В термодинамике работа, совершённая газом при расширении^[6], рассчитывается как интеграл давления по объёму:

A_{1 \to 2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V

.

Работа, совершённая над газом, совпадает с этим выражением по абсолютной величине, но противоположна по знаку.

Естественное обобщение этой формулы применимо не только к процессам, где давление есть однозначная функция объёма, но и к любому процессу (изображаемому любой кривой в плоскости $P V$ ), в частности, к циклическим процессам.
В принципе, формула применима не только к газу, но и к чему угодно, способному оказывать давление (надо только чтобы давление в сосуде было всюду одинаковым, что неявно подразумевается в формуле).

Эта формула непосредственно связана с механической работой, хотя, казалось бы, относится к другому разделу физики. Сила давления газа направлена ортогонально к каждой элементарной площадке и равна произведению давления $P$ на площадь $d S$ площадки. При расширении сосуда, работа, совершаемая газом для смещения $h$ одной такой элементарной площадки, составит

d A = P d S h

.

Это и есть произведение давления на приращение объёма вблизи элементарной площадки. После суммирования по всем $d S$ , получится результат, где будет уже полное приращение объёма, как и в главной формуле раздела.

См. также[править]

Примечания[править]

↑ Тарг С. М. Работа силы // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 193—194. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
↑ Это делается исходя из того, что можно разбить суммарное конечное перемещение на маленькие последовательные перемещения $d \vec{s}$ , на каждом из которых сила будет почти постоянной, а значит можно будет воспользоваться определением для постоянной силы, введённым выше. Затем работы на всех этих перемещениях $d \vec{s}$ суммируется, что и даёт в результате интеграл.
↑ Как это очень часто бывает. Например, в случае кулоновского поля, растягивающейся пружины, силы тяготения планеты итд.
↑ По сути через предыдущий, поскольку здесь $\vec{F} (t) = \vec{F} (\vec{r} (t))$ ; вектор же малого перемещения $d \vec{s}$ совпадает с $d \vec{r}$ .
↑ Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
↑ Работа, совершаемая газом при его сжатии, очевидно отрицательна, но вычисляется по той же формуле. Работа, совершаемая газом (или над газом) без его расширения или сжатия (например, в процессе перемешивания мешалкой), в принципе может быть выражена подобной формулой, но всё же не прямо этой, так как она требует обобщения: дело в том, что в формуле $\int P d V$ давление подразумевается одинаковым по всему объёму (что часто выполняется в термодинамике, поскольку речь там часто идёт о процессах, близких к равновесным), что и приводит к наиболее простой формуле (в случае же вращающейся мешалки, например, давление будет разным на передней и задней стороне лопасти, что приведёт к необходимому усложнению формулы, если мы захотим применить её к такому случаю; эти соображения относятся и ко всем другим неравновесным случаям, когда давление неодинаково в разных частях системы).

Литература[править]

История механики с древнейших времён до конца XVIII в. В 2 т. М.: Наука, 1972.
Кирпичёв В. Л. Беседы о механике. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
Льоцци М. История физики. М.: Мир, 1970.
Мах Э. Принцип сохранения работы: История и корень его. СПб., 1909.
Мах Э. Механика. Историко-критический очерк её развития. Ижевск: РХД, 2000.
Тюлина И. А. История и методология механики. М.: Изд-во МГУ, 1979.

[1] Тарг С. М. Работа силы // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 193—194. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.

[2] Это делается исходя из того, что можно разбить суммарное конечное перемещение на маленькие последовательные перемещения $d \vec{s}$ , на каждом из которых сила будет почти постоянной, а значит можно будет воспользоваться определением для постоянной силы, введённым выше. Затем работы на всех этих перемещениях $d \vec{s}$ суммируется, что и даёт в результате интеграл.

[3] Как это очень часто бывает. Например, в случае кулоновского поля, растягивающейся пружины, силы тяготения планеты итд.

[4] По сути через предыдущий, поскольку здесь $\vec{F} (t) = \vec{F} (\vec{r} (t))$ ; вектор же малого перемещения $d \vec{s}$ совпадает с $d \vec{r}$ .

[5] Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.

[6] Работа, совершаемая газом при его сжатии, очевидно отрицательна, но вычисляется по той же формуле. Работа, совершаемая газом (или над газом) без его расширения или сжатия (например, в процессе перемешивания мешалкой), в принципе может быть выражена подобной формулой, но всё же не прямо этой, так как она требует обобщения: дело в том, что в формуле $\int P d V$ давление подразумевается одинаковым по всему объёму (что часто выполняется в термодинамике, поскольку речь там часто идёт о процессах, близких к равновесным), что и приводит к наиболее простой формуле (в случае же вращающейся мешалки, например, давление будет разным на передней и задней стороне лопасти, что приведёт к необходимому усложнению формулы, если мы захотим применить её к такому случаю; эти соображения относятся и ко всем другим неравновесным случаям, когда давление неодинаково в разных частях системы).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]