Пример Данжуа

В теории динамических систем, пример Данжуа — пример $C^1$-диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество (и, соответственно, не сопряжённого чистому повороту). М. Эрманом были затем построены примеры такого диффеоморфизма в классе гладкости $C^{1+\epsilon }$ (то есть, $C^1$ с гёльдеровой производной с показателем $\epsilon$) для любого $\epsilon <1$. Эта гладкость не может быть далее увеличена: для диффеоморфизмов с липшицевой производной (и даже с производной, логарифм которой имеет ограниченную вариацию) имеет место теорема Данжуа, утверждающая, что такой диффеоморфизм с иррациональным числом вращения сопряжён иррациональному повороту (на соответствующее число вращения).

Конструкция

Процедура вклейки

Пример гомеоморфизма

Проще всего предъявляется пример гомеоморфизма окружности, число вращения которого иррационально, но который, тем не менее, не минимален. А именно, рассмотрим поворот $R$ на некоторый иррациональный угол $\alpha$, и выберем произвольную начальную точку $x_0$. Рассмотрим её орбиту $x_n=R^n(x_0)$ (при всех целых $n$, как положительных, так и отрицательных). Произведём следующую перестройку: в каждой точке $x_n$ разрежем окружность и вклеим интервал $I_n$ некоторой длины $l_n>0$, так, чтобы сумма длин вклеенных интервалов сходилась:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{l}_n<\mathrm{\infty }.$

Тогда получившееся после такой вклейки множество по-прежнему будет окружностью, более того, на ней будет естественная мера Лебега (состоящая из меры Лебега на разрезанной старой окружности и меры Лебега на вклеенных интервалах), то есть длина — и, тем самым, гладкая структура. Произвольным образом продолжив отображение $R$ со старой окружности так, чтобы оно переводило интервал $I_n$ в интервал $I_{n+1}$, — например, выбрав в качестве продолжения аффинное отображение из $I_n$ в $I_{n+1}$, — мы получаем гомеоморфизм f новой окружности с тем же числом вращения $\alpha$. Однако, у этого гомеоморфизма есть канторово инвариантное множество $K$ (замыкание множества точек старой окружности), и потому он не может быть сопряжён иррациональному повороту.

Выбрав последовательность длин $l_n$ так, чтобы последовательность отношений $l_n/l_{n+1}$ оставалась ограниченной при $n\to \pm \mathrm{\infty }$, для конструкции с аффинным продолжением можно добиться липшицевости построенного гомеоморфизма. Однако, чтобы построенное отображение было диффеоморфизмом, выбор продолжения на отрезки $I_n$ следует сделать более тонко.

Пример в классе $C^1$

Пример в классе $C^1$ строится так, чтобы производная построенного диффеоморфизма $f$ на канторовом множестве $K$ — замыкании множества точек исходной окружности — равнялась бы 1 (поскольку мера Лебега на этом множестве сохраняется построенным диффеоморфизмом, это необходимое условие при такой конструкции). Поэтому, необходимо выбирать переставляющие интервалы $I_n$ ограничения ${\phi }_n=f{|}_{I_n}:I_n\to I_{n+1}$ так, чтобы выполнялись следующие условия:

• (D1) Производная ${\phi }_n$ в концах интервала $I_n$ равна 1.
• (D2) При $n\to \pm \mathrm{\infty }$, производные отображений ${\phi }_n$ равномерно стремятся к 1.

Последнее условие необходимо, так как с ростом $n$ интервалы $I_n$ накапливаются к канторовому множеству $K$. Более того, несложно видеть, что эти условия и достаточны для того, чтобы построенное отображение $f$ было бы $C^1$-диффеоморфизмом.

В силу теоремы Лагранжа, на отрезке $I_n$ найдётся точка, производная в которой будет равна $l_{n+1}/l_n$. Второе условие поэтому требует, чтобы для последовательности $l_n$ имело место

$\underset{n\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{l}_n/l_{n+1}=1.(*)$

Как оказывается, это условие на длины для построения $C^1$-диффеоморфизма является и достаточным. А именно, отображения ${\phi }_n$ выбираются следующим образом: на отрезках $I_n$ и $I_{n+1}$ вводятся координаты, отождествляющие их с отрезками $[-l_n/2,l_n/2]$ и $[-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]$ соответственно, и отображение ${\phi }_n$ выбирается как

${\phi }_n=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_n},(**)$

где

$F_l:[-l/2,l/2]\to \mathbb{ℝ},F_l(x)=l\tan \frac{\pi x}{l}.(***)$

Несложная выкладка показывает тогда, что производная ${\phi }_n$ в любой точке отклоняется от 1 в не больше, чем $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\cdot |1-\frac{l_n}{l_{n+1}}|$, поэтому условия (*) достаточно для выполнения второго необходимого условия D2. С другой стороны, столь же несложно видеть, что условие D1 также выполнено (именно для этого тангенс в формуле (***) и умножался на l: тогда скорость ухода на бесконечность на концах это $1/x$, и не зависит от длины интервала l — поэтому композиционное частное касается тождественного отображения).

Выбор любой удовлетворяющей (*) последовательности $l_n$ со сходящейся суммой — например, $l_n=1/(1+n^2),$ — и завершает построение.

Пример в классе $C^{1+ϵ}$

Пример в классе $C^{1+\epsilon }$ предъявляется уже описанной выше конструкцией, но с более тонкими условиями на длины $l_n$. А именно, как несложно видеть, построенный диффеоморфизм будет иметь гёльдерову производную тогда и только тогда, когда производные всех ограничений ${\phi }_n$ равномерно по $n$ гёльдеровы. Действительно, сравнивая производные в точках из разных отрезков, можно подразбить эту разность производными в промежуточных концевых точках (поскольку производная в концевой точке всегда равна 1), и воспользоваться неравенством треугольника (в худшем случае, удвоив константу Гёльдера).

Поскольку на отрезке $I_n$ есть точка с производной $l_{n+1}/l_n$ (по теорема Лагранжа) и есть точка, производная в которой равна 1 (это концевая точка), константа Гёльдера для показателя Гёльдера $\epsilon$ не может быть меньше, чем

$(|1-\frac{l_{n+1}}{l_n})/l_n^{\epsilon }=\frac{|l_{n+1}-l_n|}{l_n^{1+\epsilon }}.(L)$

Поэтому выражение (L) должно быть ограничено при $n\to \pm \mathrm{\infty }$. Как оказывается, это условие ограниченности и достаточно — явная выкладка показывает, что точная константа Гёльдера ограничения ${\phi }_n$ отличается от оценки снизу (L) не более, чем в константу раз. Для завершения конструкции остаётся предъявить двусторонне-бесконечную последовательность $l_n$ со сходящейся суммой, для которой выражение (L) остаётся ограниченным. Примером такой последовательности является

$l_n=\frac{1}{m{\ln }^{2}m},m=2+|n|,$

подходящая одновременно для всех $\epsilon <1$.

Предъявляение такой последовательности и завершает конструкцию — построенный диффеоморфизм принадлежит классу $C^{1+\epsilon }$ с любым $\epsilon <1$.

См. также

• Теорема Данжуа
• Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

Ссылки

• Записки Дж. Милнора Introductory Dynamics Lectures, лекция "Теорема Данжуа" (см. §15B).

Литература

• А.Б.Каток, Б.Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А.С.Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-063-1
• M.Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.