Пример Адамара

Пример Адамара иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши.

Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:

$u_{tt}(x,t)=-u_{xx}(x,t),t>0$;

$u{\mid }_{t=0}=0,u_t{\mid }_{t=0}=\frac{1}{k}\sin kx$.

Тогда несложно показать, что решением такого уравнения будет функция:

$u_k(x,t)=\frac{\mathrm{sh}kt}{k^2}\sin kx$.

При $k\to +\mathrm{\infty }$ видно, что $\frac{1}{k}\sin kx\rightrightarrows 0$ по $x$; следовательно, решение должно также приближаться к нулю. Однако же, в общем случае, когда $x\ne \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_k(x,t)\to ̸0,k\to \mathrm{\infty }$. То есть, непрерывной зависимости от начальных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно.

См. также

• Начальные и граничные условия

Литература

• Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.

Ссылки

• Корректность по Адамару