Поток Риччи

Для термина «Риччи» см. также другие значения.

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение

Уравнение потока Риччи имеет вид:

${\partial }_t{g}_t=-2\cdot {\mathrm{R}\mathrm{c}}_t.$

где $g_t$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра $t$), и ${\mathrm{R}\mathrm{c}}_t$ — её тензор Риччи.

Свойства

• Формально говоря, система уравнений $R$, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений $R^{\prime }$, предложенная Детурком, такая, что если $g_0$ риманова метрика на компактном многообразии $M$ и $g_t$, $g{\text{'}}_t$ — решения систем $R$ и $R^{\prime }$, то $(M,g_t)$ изометрично $(M,{g_t}^{\prime })$ для всех $t$.
  • Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка».
• Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при $t=0$, можно получить решения лишь в одну сторону по $t$, а именно $t⩾0$.
• В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при $t\to \mathrm{\infty }$. Решение продолжается на максимальный интервал $[0,T)$. В случае если $T$ конечно, при приближении к $T$ кривизна многообразия идёт к бесконечности, и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.
• Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.

Изменение геометрических характеристик

• Для объёма ${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_t$ метрики $g_t$ верно соотношение

  $\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{d}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_t)=-{\mathrm{R}}_t\cdot (\mathrm{d}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_t).$

• Для скалярной кривизны ${\mathrm{R}}_t$ метрики $g_t$ верно соотношение

  $\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{R}}_t={\mathrm{△}}_t{\mathrm{R}}_t+|{\mathrm{R}\mathrm{c}}_t{|}^2$

где $|{\mathrm{R}\mathrm{c}}_t{|}^2$ определяется как $\sum _{i,j}(\mathrm{R}\mathrm{c}(e_i,e_j){)}^2$ для ортонормированного репера $\{e_i\}$ в точке.

• В частности, согласно принципу максимума поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
• Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает.

• Для каждого $g_0$-ортонормированного репера $\{e^i\}$ в точке $x\in M$ существует так называемый сопутствующий $g_t$-ортонормированный репер $\{e_t^i\}$. Для тензора кривизны ${\mathrm{R}\mathrm{m}}_t$, записанного в этом базисе, верно соотношение

  $\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{R}\mathrm{m}}_t={\mathrm{△}}_t{\mathrm{R}\mathrm{m}}_t+Q({\mathrm{R}\mathrm{m}}_t,{\mathrm{R}\mathrm{m}}_t),$

где $Q$ — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.

• Билинейная квадратичная форма $Q$ определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны $x$ приписывается другой тензор кривизны $v_x=Q(x,x)$. Решения ОДУ

$\dot{x}=v_x$

играют важную роль в теории потоков Риччи.

• Выпуклые множества $K$ в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ $x(0)\in K$, то $x(t)\in K$ при $t\ge 0$, называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому $K$, то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи.

• К инвариантным множествам относятся

• Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной
• Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны
• В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительной кривизной Риччи

Размерность 3

В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого $x$ и $t$ можно подобрать репер $\{e_t^i\}$, в котором ${\mathrm{R}\mathrm{m}}_t$ диагонализуется в базисе $e_1\wedge e_2$, $e_2\wedge e_3$, $e_3\wedge e_1$, скажем,

$\mathrm{R}\mathrm{m}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \mu & 0\\ 0& 0& \nu \end{array}\right).$

Тогда

$Q(\mathrm{R}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{m})=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }^2+\mu \cdot \nu & 0& 0\\ 0& {\mu }^2+\nu \cdot \lambda & 0\\ 0& 0& {\nu }^2+\lambda \cdot \mu \end{array}\right).$

История

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьях, опубликованных с 2002 по 2003 год, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.

Литература

• Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
• Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
• Perelman, Grisha (November 11, 2002), The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG]. 
• Perelman, Grisha (March 10, 2003), Ricci flow with surgery on three-manifolds, arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG]. 
• Perelman, Grisha (July 17, 2003), Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG]. 
• Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
• J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
• Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc., 2006.