Подкатегория

Подкатегория в теории категорий — категория ${𝒮}$, объекты которой являются также объектами заданной категории ${𝒞}$ и морфизмы которой являются также морфизмами в ${𝒞}$, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория ${𝒮}$ для категории ${𝒞}$ задаётся при помощи:

• подкласса объектов $\mathrm{O}\mathrm{b}({𝒮})\subseteq \mathrm{O}\mathrm{b}({𝒞})$,
• подкласса морфизмов $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒮})\subseteq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒞})$

таких, что выполняются следующие условия:

• для каждого $X\in \mathrm{O}\mathrm{b}({𝒮})$ тождественный морфизм ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ принадлежит $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒮})$,
• для каждого морфизма $f:X\to Y$ в $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒮})$ его прообраз $X$ и образ $Y$ лежат в $\mathrm{O}\mathrm{b}({𝒮})$,
• для каждой пары морфизмов $f$, $g$ в $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒮})$ их композиция $f\circ g$ лежит в $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒮})$, если она определена в ${𝒞}$.

Из этих условий следует, что ${𝒮}$ является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор $I:{𝒮}⟶{𝒞}$, называемый функтором вложения.

Подкатегория ${𝒮}$ называется полной подкатегорией ${𝒞}$, если для каждой пары объектов $X,Y\in \mathrm{O}\mathrm{b}({𝒮})$ выполнено ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒮}}(X,Y)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}}(X,Y)$.

Подкатегория ${𝒮}$ категории ${𝒞}$ называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм $k:X\to Y$ в ${𝒞}$, такой что $Y$ принадлежит ${𝒮}$, также принадлежит ${𝒮}$. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория ${𝒮}$ — широкая, если она содержит все объекты ${𝒞}$. В частности, единственная широкая полная подкатегория категории ${𝒞}$ — сама ${𝒞}$.

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.