Алгебра над полем

Эта статья — о векторном пространстве, снабжённом произведением. Об алгебраических системах с пустым множеством отношений см. Алгебра (универсальная алгебра); о разделе математики см. Алгебра.

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение

Пусть $A$ — векторное пространство над полем $K$, снабжённое операцией $A\times A\to A$, называемой умножением. Тогда $A$ является алгеброй над $K$, если для любых $x,y,z\in A,a,b\in K$ выполняются следующие свойства:

• $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
• $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
• $(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)$.

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем $K$ — это кольцо с единицей $A$, снабжённое гомоморфизмом колец с единицей $f:K\to A$, таким, что $f(K)$ принадлежит центру кольца $A$ (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что $A$ является векторным пространством над $K$ со следующей операцией умножения на скаляр $\alpha \in K$: $\alpha x=f(\alpha )\cdot x$.

Связанные определения

• Гомоморфизм $K$-алгебр — это $K$-линейное отображение, такое что $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ для любых $a,b$ из области определения.
• Подалгебра алгебры над полем $K$ — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй $U$ линейной алгебры $R$ над полем $P$ называется её подмножество если оно является подкольцом кольца $R$ и подпространством линейного пространства $R$.
  • Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре.
  • Алгебра называется алгебраической, если все её элементы алгебраические.

• Левый идеал $K$-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
• Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов $a\ne 0$ и $b$ уравнения $ax=b$ и $ya=b$ разрешимы. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
• Центр алгебры $A$ — это множество элементов $a\in A$, таких что $xa=ax$ для любого элемента $x\in A$.

Примеры

Ассоциативные алгебры

• Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами.
• Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
• Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля, является алгеброй с делением. Действительно, умножение на $x$ слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как $x$ не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента $b$, то есть такой элемент $y$, что $xy$ = $b$. Второе условие доказывается аналогично.
• Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов $K[x]$.
• Алгебры функций, такие как $\mathbb{ℝ}$-алгебра вещественнозначных непрерывных функций, определённых на интервале (0, 1), или $\mathbb{ℂ}$-алгебра голоморфных функций, определённых на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости.
• Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве.

Неассоциативные алгебры

• Алгебры Кэли, или октавы.
• Общие алгебры Ли.
• Йордановы алгебры.
• Альтернативные алгебры.

Структурные коэффициенты

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем $K$ достаточно указать её размерность $n$ и $n^3$ структурных коэффициентов $c_{i,j,k}$, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

${\mathbf{𝐞}}_i{\mathbf{𝐞}}_j=\sum _{k=1}^n{c}_{i,j,k}{\mathbf{𝐞}}_k$

где $(e_1,e_2,\dots e_n)$ — некоторый базис $A$. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если $K$ — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра $A$ является свободным модулем.

См. также

• Дифференциальная алгебра
• Тензорное произведение алгебр

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.