Паросочетание

В теории графов паросочетание, или независимое множество рёбер в графе, — это набор попарно несмежных рёбер.

Определение

Пусть дан граф G = (V,E), паросочетание M в G — это множество попарно несмежных рёбер, то есть рёбер, не имеющих общих вершин, т.е. $\mathrm{\forall }e,f\in M:e\cap f=\mathrm{\varnothing }$.

Связанные определения

Максимальное паросочетание — это такое паросочетание M в графе G, которое не содержится ни в каком другом паросочетании этого графа, то есть к нему невозможно добавить ни одно ребро, которое бы являлось несмежным ко всем рёбрам паросочетания. Другими словами, паросочетание M графа G является максимальным, если любое ребро в G имеет непустое пересечение, по крайней мере, с одним ребром из M. Ниже приведены примеры максимальных паросочетаний (красные рёбра) в трёх графах.

Наибольшее паросочетание (или максимальное по размеру паросочетание)— это такое паросочетание, которое содержит максимальное количество рёбер. Число паросочетания $\nu (G)$ графа $G$ — это число рёбер в наибольшем паросочетании. У графа может быть множество наибольших паросочетаний. При этом любое наибольшее паросочетание является максимальным, но не любое максимальное будет наибольшим. Следующие три рисунка показывают наибольшие паросочетания в тех же трёх графах.

Некоторые авторы используют термин «максимальное паросочетание» для наибольшего паросочетания.

Совершенным паросочетанием (или 1-фактором) называется паросочетание, в котором участвуют все вершины графа. То есть любая вершина графа инцидентна ровно одному ребру, входящему в паросочетание. Фигура (b) на рисунке выше является примером такого паросочетания. Любое совершенное паросочетание является наибольшим и максимальным. Совершенное паросочетание является также рёберным покрытием минимального размера. В общем случае $\nu (G)\le \rho (G)$, где $\rho (G)$ — число рёберного покрытия графа $G$, иными словами, размер наибольшего паросочетания не превосходит размера наименьшего рёберного покрытия.

Почти совершенным паросочетанием называется паросочетание, в котором не участвует ровно одна вершина. Это может произойти, если граф имеет нечётное число вершин. На рисунке выше паросочетание в графе (c) является почти совершенным. Если для любой вершины в графе существует почти совершенное паросочетание, не содержащее именно эту вершину, граф называется факторно-критическим.

Пусть задано паросочетание M.

• чередующийся путь — это путь, в котором рёбра поочерёдно принадлежат паросочетанию и не принадлежат ему.
• пополняющий путь (или увеличивающий путь) — это чередующийся путь, начинающийся и кончающийся свободными вершинами (то есть не участвующими в паросочетании).

Лемма Бержа утверждает, что паросочетание является наибольшим в том и только в том случае, если не существует пополняющего пути.

Свойства

• Число совершенных паросочетаний в двудольном графе равно перманенту его матрицы смежности.
• В любом графе без изолированных вершин число паросочетания и число рёберного покрытия в сумме дают число вершин.
  • В частности, если существует совершенное паросочетание, то оба числа равны |V| / 2.

• Если A и B — два максимальных паросочетания, то |A| ≤ 2|B| и |B| ≤ 2|A|. Чтобы это увидеть, заметьте, что каждое ребро из B \ A может быть сопряжено максимум двум рёбрам из A \ B поскольку A — паросочетание. Однако каждое ребро A \ B сопряжено с ребром B \ A ввиду того, что B — максимальное. Следовательно,

  $|A\setminus B|\le 2|B\setminus A|$

Далее мы имеем

$|A|=|A\cap B|+|A\setminus B|\le 2|B\cap A|+2|B\setminus A|=2|B|$

• В частности, отсюда вытекает, что любое максимальное паросочетание является 2-аппроксимацией наибольшего паросочетания, а также 2-аппроксимацией минимального максимального паросочетания. Это неравенство точное. Например, если G — путь с тремя рёбрами и 4 вершинами, минимальный размер максимального паросочетания равен 1, а размер наибольшего паросочетания равен 2.

Многочлен паросочетаний

Производящая функция числа k-рёберных паросочетаний в графе называется многочлен паросочетаний. Пусть G — граф и m_k — число k-рёберных паросочетаний. Полиномом паросочетаний графа G будет

$\sum _{k\ge 0}{m}_k{x}^k$

Есть другое определение полинома паросочетаний

$\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k{m}_k{x}^{n-2k}$,

где n — число вершин в графе. Оба определения имеют свои области применения.

Алгоритмы и вычислительная сложность

Наибольшее паросочетание в двудольном графе

Задачи нахождения паросочетания часто возникают при работе с двудольными графами. Поиск наибольшего паросочетания в двудольном графе $G=(V=(X,Y),E)$ является, пожалуй, простейшей задачей. Алгоритм пополняющего пути получает его, находя пополняющий путь из каждой вершины $x\in X$ в $Y$ и добавляя его в паросочетание, если путь будет найден. Альтернативный способ решения заключается в том, что паросочетание будет дополняться до тех пор, пока существуют расширяющие дополняющие пути:

1. Установи $M=\mathrm{\varnothing }$.
2. Пока имеются расширяющие пополняющие пути $P$:
   1. $M=M\oplus E(P)$

Пополняющий путь - это путь вида $v_0,\{v_0,v_1\},v_1,\{v_1,v_2\},v_2,\dots ,v_{l-1},\{v_{l-1},v_l\},v_l$, для которого истинно $\{v_{i-1},v_i\}\in M\iff \{v_i,v_{i+1}\}\notin M$ при $0⩽i⩽l$. Пополняющий путь называется расширяющим, если $v_0,v_l\notin M$.

Лемма: Для любого графа $G=(V,E)$, паросочетания $M$ и пополняющего пути $P$ справедливо $M\oplus E(P)$ паросочетание и $|M\oplus E(P)|=|M|+1$. Доказательство: Пусть $G^{\prime }=(V,M)$, $G^{″}=(V,M\oplus E(P))$ и $v$ - начальная вершина $P$, так что ${\delta }_{G^{\prime }}(v)=0$ и ${\delta }_{G^{″}}(v)=1$, а также $w$ - последняя вершина $P$, так что ${\delta }_{G^{\prime }}(w)=0$ и ${\delta }_{G^{″}}(w)=1$, и $u$ - промежуточная вершина $P$, так что ${\delta }_{G^{\prime }}(u)={\delta }_{G^{″}}(u)=1$. Из этого следует, что в граф будет добавлено на одно ребро больше, чем удалено из него.

Лемма: Для любого графа $G=(V,E)$ и паросочетаний $M$, $N$ таких, что $|M|<|N|$ справедливо следующее: граф $H=(V,M\oplus N)$ содержит минимум $|N|-|M|$ не пересекающихся в вершинах пополняющих путей относительно $M$ в $G$. Доказательство: Пусть $G_M=(V,M)$ и $G_N=(V,N)$, при этом действительно $\delta (G_M)\subset \{0,1\}$ и $\delta (G_N)\subset \{0,1\}$ и таким образом следует $\delta (H)\subset \{0,1,2\}$. Пусть $G_i=(V,E_i)$ при $1⩽i⩽g$ компоненты связности графа $H$. Из $\delta (H)\subset \{0,1,2\}$ следует

• $G_i$ является изолированной вершиной или
• $G_i$ является циклом четной длины или
• $G_i$ является путем четной длины или
• $G_i$ является путем нечетной длины

Вершины в $G_i$ происходят попеременно из $M$ и $N$. Пусть $d(G_i)=|E_i\cap N|-|E_i\cap M|\subset \{-1,0,1\}$

, а $d(G_i)=1$ только если $G_i$ - пополняющий путь. $\sum _{i=1}^{g}d(G_i)=|N\setminus M|-|M\setminus N|=|N|-|M|$ и это означает, что должно существовать минимум $|N|-|M|$ компонент $G_i$ с $d(G_i)=1$ и, как следствие, дополняющих путей. Согласно определению компонент связности, такие дополняющи пути не будут пересекаться в вершинах.

Найти дополняющий путь можно следующим образом:

1. Даны $G=(V,W,E)$ двудольный граф и паросочетание $M$.
2. Создай $G^{\prime }=(V\cup W,E^{\prime }\cup E^{″})$, где
   1. $E^{\prime }=\{(v,w)\mid \{v,w\}\in E\setminus M\wedge v\in V\wedge w\in W\}$
   2. $E^{″}=\{(w,v)\mid \{v,w\}\in M\wedge v\in V\wedge w\in W\}$
3. Поиск дополняющего пути сводится к поиску в $G^{\prime }$ из свободной вершины $v\in V$ в свободную вершину $w\in W$.

Поскольку пополняющий путь может быть найден за $O(|E|)$ - время поиска в глубину, время работы алгоритма составит $O(|V||E|)$. Это решение эквивалентно добавлению суперисточника $s$ с рёбрами ко всем вершинам $X$, и суперстока $t$ с рёбрами из всех вершин $Y$ (трансформация графа займет $O(n+m)$, и поиску максимального потока из $s$ в $t$. Все рёбра, по которым идёт поток из $X$ в $Y$, образуют максимальное паросочетание, а размер наибольшего паросочетания будет равен величине потока. Несколько быстрее работает алгоритм Хопкрофта — Карпа, работающий за время $O(\sqrt{V}E)$. Другой подход базируется на алгоритме быстрого умножения матриц и даёт сложность $O(V^{2.376})$, что в теории лучше для достаточно плотных графов, но на практике алгоритм медленнее.

Во взвешенном двудольном графе

Во взвешенном двудольном графе каждому ребру приписывается вес. Паросочетание максимального веса в двудольном графе определяется как паросочетание, для которого сумма весов рёбер паросочетания имеет максимальное значение. Если граф не является полным двудольным, отсутствующие рёбра добавляются с нулевым весом. Задача поиска такого паросочетания известна как задача о назначениях. Замечательный венгерский алгоритм решает задачу о назначениях и был одним из первых алгоритмов комбинаторной оптимизации. Задача может быть решена с помощью модифицированного поиска кратчайшего пути в алгоритме пополняющего пути. Если используется алгоритм Беллмана — Форда, время работы будет $O(V^{2}E)$, или цену ребра можно сдвинуть для достижения времени $O(V^2\log V+VE)$ при применении алгоритма Дейкстры с Фибоначчиевой кучей.

Наибольшие паросочетания

Основная статья: Алгоритм Эдмондса для паросочетаний

Имеется алгоритм полиномиального времени для нахождения наибольшего паросочетания или паросочетания максимального веса в графе, не являющемся двудольным. Следуя Джеку Эдмондсу его называют методом путей, деревьев и цветов или просто алгоритмом Эдмондса для паросочетаний. Алгоритм использует двунаправленные дуги. Обобщение той же техники может быть использовано для поиска максимального независимого множества в графах без клешней. Алгоритм Эдмодса был впоследствии улучшен до времени работы $O(\sqrt{V}E)$, что соответствует алгоритмам для двудольных графов. Другой (рандомизированный) алгоритм, разработанный Муча и Санковсим (Mucha, Sankowski), основанный на быстром произведении матриц, даёт сложность $O(V^{2.376})$.

Максимальные паросочетания

Максимальное паросочетание можно найти простым жадным алгоритмом. Cамым большим максимальным паросочетанием является наибольшее паросочетание, которое может быть найдено за полиномиальное время. Pеализация с использованием псевдокода:

1. Дан граф $G=(V,E)$.
2. Установи $M=\mathrm{\varnothing }$.
3. Пока множество $E$ не пустое:
   1. Выбери $e\in E$.
   2. Установи $M=M\cup \{e\}$.
   3. Установи $E=\{e^{\prime }\in E\mid e^{\prime }\cap e=\mathrm{\varnothing }\}$.
4. Выведи $M$.

Однако неизвестно никакого полиномиального по времени алгоритма для нахождения наименьшего максимального паросочетания, то есть максимального паросочетания, содержащего наименьшее возможное число рёбер.

Заметим, что наибольшее паросочетание из k рёбер является рёберным доминирующим множеством с k рёбрами. И обратно, если задано минимальное рёберное доминирующее множество с k рёбрами, мы можем построить наибольшее паросочетание с k рёбрами за полиномиальное время. Таким образом, задача нахождения минимального по размеру максимального паросочетания эквивалентна задаче нахождения минимального рёберного доминирующего множества. Обе эти задачи оптимизации известны как NP-трудные, а их распознавательные версии являются классическими примерами NP-полных задач. Обе задачи могут быть аппроксимированы с коэффициентом 2 с полиномиальным временм — просто находим произвольное максимальное паросочетание M.

Задачи перечисления

Число паросочетаний в графе известно как индекс Хосойи. Вычисление этого числа является #P-полной задачей. Задача остаётся #P-полной в специальном случае перечисления совершенных паросочетаний в двудольном графе, поскольку вычисление перманента случайной 0-1 матрицы (другая #P-полная задача) — это то же самое, что вычисление числа совершенных паросочетаний в двудольном графе, имеющем заданную матрицу в качестве матрицы смежности. Существует, однако, рандомизированная аппроксимационная схема полиномиального времени для вычисления числа паросочетаний в двудольном графе. Замечательная теорема Кастелейна, утверждающая, что число совершенных паросочетаний в планарном графе может быть вычислено в точности за полиномиальное время с помощью алгоритма FKT.

Число совершенных паросочетаний в полном графе K_n (с чётным n) задаётся двойным факториалом (n − 1)!!. Число паросочетаний в полном графе без ограничения, чтобы паросочетание было совершенным, задаётся телефонными номерами.

Нахождение всех рёбер, паросочетаемых рёбер

Одной из основных задач в теории паросочетаний является поиск всех рёбер, которые могут быть расширены до наибольшего паросочетания. Лучший детерминированный алгоритм решения этой задачи работает за время $O(VE)$. Существует рандомизированный алгоритм, решающий задачу за время $\tilde{O}(V^{2.376})$. В случае двудольного графа можно найти наибольшее паросочетание и использовать его для нахождения всех максимально-паросочетаемых рёбер за линейное время; что даст в результате $O(V^{1/2}E)$ для общих двудольных графов и $O((V/\log V{)}^{1/2}E)$ для плотных двудольных графов с $E=\mathrm{\Theta }(V^2)$. В случае, если одно из наибольших паросочетаний известно заранее, общее время работы алгоритма будет $O(V+E)$.

Характеристики и замечания

Теорема Кёнига утверждает, что в двудольных графах размер наибольшего паросочетания равно размеру наименьшего вершинного покрытия. Из этого следует, что для двудольных графов задачи нахождения наименьшего вершинного покрытия, наибольшего независимого множества, и максимальной вершинной биклики могут быть решены за полиномиальное время.

Теорема Холла (или теорема о свадьбах) обеспечивает характеризацию двудольных графов, имеющих совершенные паросочетания, а теорема Татта даёт характеризацию произвольных графов.

Совершенное паросочетание порождает остовный 1-регулярный подграф, то есть 1-фактор. В общем случае остовный k-регулярный подграф — это k-фактор.

Приложения

Структурная формула Кекуле ароматических соединений состоит из совершенных паросочетаний их углеродного скелета, показывая местоположение двойных связей в химической структуре. Эти структуры названы в честь Фридриха Августа Кекуле, который показал, что бензол (в терминах теории графов — это цикл из 6 вершин) может быть представлен в виде такой структуры.

Индекс Хосойи — это число непустых паросочетаний плюс единица. Он применяется в вычислительной и математической химии для исследования органических соединений.

См. также

• Рёберная раскраска
• Независимое множество
• Декомпозиция Далмейджа-Мендельсона
• Устойчивое паросочетание
• Оптимальное паросочетание
• Кососимметический граф
• Словарь терминов теории графов

Литература для дальнейшего чтения

1. László Lovász, Michael D. Plummer. Matching Theory. — North-Holland, 1986. — ISBN 0-444-87916-1.
2. Introduction to Algorithms. — second. — MIT Press and McGraw–Hill, 2001. — ISBN 0-262-53196-8.

1. S. J. Cyvin, Ivan Gutman. Kekule Structures in Benzenoid Hydrocarbons. — Springer-Verlag, 1988.
2. Marek Karpinski, Wojciech Rytter. Fast Parallel Algorithms for Graph Matching Problems. — Oxford University Press, 1998. — ISBN 978-0-19-850162-6.

Ссылки

• Пример решения задачи на YouTube Архивная копия от 22 марта 2016 на Wayback Machine
• Алгоритм поиска наибольшего паросочетания в двудольном графе Архивная копия от 7 января 2012 на Wayback Machine
• A graph library with Hopcroft-Karp and Push-Relabel-based maximum cardinality matching implementation Архивная копия от 25 октября 2005 на Wayback Machine