Параметры Стокса

Параметры Стокса — это набор величин, описывающих вектор поляризации электромагнитных волн, введенный в физику Дж. Стоксом в 1852 году. Параметры Стокса являют собой альтернативу описанию некогерентного или частично поляризованного излучения в терминах полной интенсивности, степени поляризации и формы эллипса поляризации.

Определение

Сфера Пуанкаре позволяет визуализировать параметры Стокса как проекции вектора $I$ на координатные оси

Изображение поляризаций на сфере Пуанкаре

В случае плоской монохроматической волны параметры Стокса связаны с параметрами поляризационного эллипса следующим образом:

$\begin{array}{rl}{S}_0& =I=E_a^2+E_b^2\\ S_1& =Q=I\cos 2\psi \cos 2\chi \\ S_2& =U=I\sin 2\psi \cos 2\chi \\ S_3& =V=I\sin 2\chi \end{array}$

Поляризационный эллипс

Здесь $E_a$ и $E_b$ — большая и малая полуоси поляризационного эллипса, $\psi$— угол поворота поляризационного эллипса относительно произвольной лабораторной системы координат — носит название азимута эллиптически-поляризованного излучения (или кратко — азимут), а угол $\chi$, определяемый из условия отношения малой полуоси к большой $\mathrm{t}\mathrm{g}\chi =E_b/E_a$— угол эллиптичности эллипса поляризации. Нетрудно заметить, что $S_1$, $S_2$ и $S_3$ являются проекциями $S_0$ на некие координатные оси. В итоге независимыми являются всего три параметра Стокса, поскольку:

$I^2=Q^2+U^2+V^2$

Параметры Стокса можно связать с величинами, непосредственно измеряемыми. Пусть $E_1$ и $E_2$ — амплитуды изменения вектора $\overrightarrow{E}$ в двух произвольных ортогональных направлениях, а $\delta$ — разность фаз колебаний в этих направлениях. Тогда:

$\begin{array}{rl}{S}_0& =I=E_1^2+E_2^2\\ S_1& =Q=E_1^2-E_2^2\\ S_2& =U=2E_1{E}_2\cos \delta \\ S_3& =V=2E_1{E}_2\sin \delta \end{array}$

Примечание: наряду с вариантами обозначений $S_0$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ или $I$, $Q$, $U$, $V$ в некоторых научных традициях можно встретить обозначения параметров вектора $I$, $M$, $C$, $S$ или $I$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ или $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$.

Частные случаи

Выразим с помощью параметров Стокса линейную поляризацию. В этом случае разность фаз в любых ортогональных направлениях должна составлять $\delta =m\pi$, где $m$ — целое число. Тогда получаем

$\begin{array}{rl}I& =E_1^2+E_2^2=E_a^2+E_b^2\\ Q& =I\cos 2\chi \cos 2\psi =I\frac{1}{I}\sqrt{I^2-(2E_1{E}_2{)}^2{\sin }^2\delta }\cos 2\psi =I\cos 2\psi \\ U& =I\cos 2\chi \sin 2\psi =I\frac{1}{I}\sqrt{I^2-(2E_1{E}_2{)}^2{\sin }^2\delta }\sin 2\psi =I\sin 2\psi \\ V& =I\sin 2\chi =I\frac{2E_1{E}_2}{I}\sin \delta =0\end{array}$

Предположим, что лабораторная ось отсчёта была выбрана горизонтально, как часто это и делается. Если $\psi =0$, то мы получим горизонтальную линейную поляризацию, если $\psi =\pm \frac{\pi }{2}$, то это будет вертикальная линейная поляризация.

В таблице приведены значения параметров Стокса для трех частных случаев

Поляризация	Параметры Стокса
	$I$	$Q$	$U$	$V$
Линейная	$I$	$I\cos 2\psi$	$I\sin 2\psi$	$0$
Правая круговая	$I$	$0$	$0$	$I$
Левая круговая	$I$	$0$	$0$	$-I$

Векторы Стокса

Часто четыре параметра Стокса объединяют в один четырёхмерный вектор, именуемый вектором Стокса:

$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}{S}_0\\ S_1\\ S_2\\ S_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}I\\ Q\\ U\\ V\end{array}\right)$

Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного излучения. Для сравнения, вектор Джонса применим только для полностью поляризованного излучения, но более полезен для задач связанных с когерентным излучением.

Влияние оптической системы на поляризацию света падающего на неё излучения, заданного вектором Стокса, можно рассчитать с помощью преобразования Мюллера.

Примеры

Ниже приведены векторы Стокса для некоторых простых вариантов поляризации света.

Горизонтальная поляризация	Вертикальная поляризация	Линейная поляризация (+45°)	Линейная поляризация (−45°)
$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$
Левая круговая поляризация	Правая круговая поляризация
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Неполяризованный свет
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Параметры Стокса для квазимонохроматического излучения

В квазимонохроматическом излучении присутствуют волны разных, хоть и близких частот. Пусть $a_1$ и $a_2$ — мгновенные амплитуды в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Тогда параметры Стокса задаются следующими выражениями:

$\begin{array}{rl}I& =⟨a_1^2⟩+⟨a_2^2⟩\\ Q& =⟨a_1^2⟩-⟨a_2^2⟩\\ U& =2⟨a_1{a}_2\cos \delta ⟩\\ V& =2⟨a_1{a}_2\sin \delta ⟩\end{array}$

Для определения параметров Стокса введем интенсивность колебаний $I(\theta ,ϵ)$ в направлении, образующим угол $\theta$ с направлением осью Ox, когда их y-компонента запаздывает на величину $ϵ$ по отношению к x-компоненте. Тогда

$\begin{array}{rl}I& =I(0^{\circ },0)+I(90^{\circ },0)\\ Q& =I(0^{\circ },0)-I(90^{\circ },0)\\ U& =I(45^{\circ },0)-I(135^{\circ },0)\\ V& =I(45^{\circ },\frac{\pi }{2})-I(135^{\circ },\frac{\pi }{2})\end{array}$

В отличие от монохроматического излучения, в квазимонохроматическом случае параметры Стокса независимы и связаны неравенством

$I^2⩾Q^2+U^2+V^2$

Это неравенство можно объяснить, предположив, что квазимонохроматическое излучение состоит из полностью поляризованного и полностью неполяризованного излучения. На основе этого можно ввести степень поляризации:

$p=\frac{\sqrt{Q^2+U^2+V^2}}{I}$

Комплексное представление

Введем комплексную интенсивность линейно поляризованной волны

$\begin{array}{ccc}L& \equiv & |L|e^{i2\theta }\\ & \equiv & Q+iU.\\ \end{array}$

Можно показать, что при повороте $\theta \to \theta +{\theta }^{\prime }$ поляризационного эллипса величины $I$ и $V$ остаются неизменными, а величины $L$, $Q$ и $U$ меняются следующим образом:

$\begin{array}{ccc}L& \to & e^{i2{\theta }^{\prime }}L,\\ Q& \to & \text{Re}\left(e^{i2{\theta }^{\prime }}L\right),\\ U& \to & \text{Im}\left(e^{i2{\theta }^{\prime }}L\right).\\ \end{array}$

Благодаря этим свойствам параметры Стокса можно свести к трем обобщенным интенсивностям:

$\begin{array}{ccc}I& \ge & 0,\\ V& \in & \mathbb{ℝ},\\ L& \in & \mathbb{ℂ},\\ \end{array}$

где $I$ — полная интенсивность, $|V|$ — интенсивность компоненты с круговой поляризацией, а $|L|$ — интенсивность линейно поляризованной компоненты излучения. Полная интенсивность поляризованного излучения будет $I_p=\sqrt{|L{|}^2+|V{|}^2}$, а ориентация и направление вращения определяются отношениями

$\begin{array}{ccc}\theta & =& \frac{1}{2}\arg (L),\\ h& =& \mathrm{sgn}(V).\\ \end{array}$

Так как $Q=\text{Re}(L)$, а $U=\text{Im}(L)$, то

$\begin{array}{ccc}|L|& =& \sqrt{Q^2+U^2},\\ \theta & =& \frac{1}{2}{\tan }^{-1}(U/Q).\\ \end{array}$

См. также

• Поляризация волн

Литература

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster. Polarization and the Stokes Parameters (англ.) // Am. J. Phys. : journal. — 1954. — Vol. 22. — P. 351. — doi:10.1119/1.1933744.
• William H. McMaster. Matrix representation of polarization (англ.) // Rev. Mod. Phys. : journal. — 1961. — Vol. 8. — P. 33. — doi:10.1103/RevModPhys.33.8.

Ссылки

• Stokes parameters and polarisation