Озёра Вады

Озёра Вады — пример трёх непересекающихся открытых дисков («озёр») на плоскости, границы которых совпадают. Этот пример показывает невозможность ослабления предположений в теорема Жордана.

Построение

Озёра Вады на пятый день

Начнём с «острова» в форме единичного квадрата. Выроем три «озера» (открытых множеств) «первое», «второе» и «третье» по следующему правилу:

• В день номер $n=1,2,3,\dots$ расширим озеро номер $m\equiv n(\mathrm{mod}3)$, $m\in 1,2,3$ так что оно будет подходить на расстояние $1/n$ к любой точке суши. Это должно быть проделано так, что остаток суши имеет связную внутренность.

После бесконечного числа дней три озера всё ещё открыты и не имеют точек пересечения, при этом граница каждого совпадает с остатком суши на острове.

Свойства

• Общая граница дисков является несжимаемым континуумом.

История

Этот пример построил Такео Вада и описал его студент К. Ёнэяма.

Литература

• Коснёвски Чес, Начальный курс алгебраической топологии