Нётерово кольцо

Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.

Определение[править]

Нётерово кольцо — ассоциативное кольцо с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:

всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов)

p_{1} \subset p_{2} \subset \dots \subset p_{n} \subset \dots

стабилизируется, то есть

p_{n} = p_{n + 1} = \dots,

начиная с некоторого

n

.

Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца.

Поле, поскольку в нём всего два идеала — ${0}$ и само поле.
Кольцо главных идеалов.
- Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 1).

Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов $A$ существует максимальный элемент.
Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал конечно порождён.
Теорема Гильберта о базисе: для любого нётерова кольца A кольцо многочленов A[x] — нётерово.
- В частности, $A [x_{1}, \dots, x_{n}]$ тоже нётерово.
В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, согласно которой любой идеал $A$ допускает примарное разложение.