Модуль Юнга

Модуль Юнга
$E$
Размерность	L−1MT−2
Единицы измерения
СИ	Па
СГС	дин·см-2

Мо́дуль Ю́нга (синонимы: модуль продольной упругости, модуль нормальной упругости) — физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться растяжению, сжатию при упругой деформации. Обозначается большой буквой Е.

Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.

В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле — как функционал деформируемой среды и процесса.

В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на квадратный метр или в паскалях. Является одним из модулей упругости.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

$E=\frac{F/S}{\mathrm{\Delta }l/l}=\frac{Fl}{S\mathrm{\Delta }l},$

где:

• $F$ — нормальная составляющая силы,
• $S$ — площадь поверхности, по которой распределено действие силы,
• $l$ — длина деформируемого стержня,
• $\mathrm{\Delta }l$ — модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина $l$).

Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

$c=\sqrt{\frac{E}{\rho }},$

где $\rho$ — плотность вещества.

Связь с другими модулями упругости

В случае изотропного тела модуль Юнга связан с модулем сдвига $G$ и модулем объёмной упругости $K$ соотношениями

$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$

и

$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$

где $\nu$ — коэффициент Пуассона.

Температурная зависимость модуля Юнга

Температурная зависимость модуля упругости простых кристаллических материалов объясняется исходя из того, что модуль упругости $M(T)$ определяется как вторая производная от внутренней энергии $W(T)$ по соответствующей деформации $E(T)=\frac{d^{2}W(T)}{d{\epsilon }^2}$ . Поэтому при температурах $T\le {\mathrm{\Theta }}_D$ (${\mathrm{\Theta }}_D$ — температура Дебая) температурная зависимость модуля упругости определяется простым соотношением

$M(T)=M_0-M_{1}T-M_2{T}^2$

где $M_0$ — адиабатический модуль упругости идеального кристалла при $T⟶0K$; $M_{1}T$ — дефект модуля, обусловленный тепловыми фононами; $M_2{T}^2$ — дефект модуля, обусловленный тепловым движением электронов проводимости.

Значения модуля Юнга для некоторых материалов

Значения модуля Юнга для некоторых материалов приведены в таблице

Материал	модуль Юнга E, ГПа	Источник
Алюминий	70
Бронза	75—125
Вольфрам	350
Германий	83
Графен	1000
Дюралюминий	74
Железо	180
Иридий	520
Кадмий	50
Кобальт	210
Константан	163
Кремний	109
Латунь	95
Лёд	3
Магний	45
Манганин	124
Медь	110
Никель	210
Ниобий	155
Олово	35
Свинец	18
Серебро	80
Серый чугун	110
Сталь	190—210
Стекло	70
Титан	112
Фарфор	59
Цинк	120
Хром	300

См. также

• Закон Гука

Литература

• Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики / В. С. Волькенштейн. — СПб.: Лань, 1999. — 328 с.

Ссылки

• Квазистатический модуль Юнга (код на Mathcad).