Матрица сдвига

Ма́трица сдви́га (также сдви́говая ма́трица) — бинарная матрица с единицами только на главных наддиагонали или поддиагонали и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица U с единицами на наддиагонали называется верхне-сдвиговой матрицей. Соответствующая поддиагональная матрица L называется нижне-сдвиговой матрицей. Компоненты матриц U и L с индексами (i, j) имеют вид

$U_{ij}={\delta }_{i+1,j},L_{ij}={\delta }_{i,j+1},$

где ${\delta }_{ij}$ — дельта-символ Кронекера.

Например, сдвиговая 5×5-матрица

$U_5=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)L_5=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$

Очевидно, при транспонировании нижне-сдвиговой матрицы получается верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножение слева произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу элементов матрицы A вниз на одну позицию, причём верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу влево на одну позицию с заполнением нулями правого столбца. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.

Все сдвиговые матрицы нильпотентны: сдвиговая n×n-матрица S в степени, равной её размерности n, равна нулевой матрице.

Свойства

Пусть L и U — n×n-матрицы сдвига, нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матриц U и L (поэтому приведём их только для U):

• Определитель det(U) = 0 (вырожденность);
• След tr(U) = 0;
• Ранг rank(U) = n − 1
• Характеристический многочлен матрицы U имеет вид:

$p_U(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n.$

• Uⁿ = 0 (нильпотентность). Это свойство следует из предыдущего по теореме Гамильтона — Кэли.

• Перманент per(U) = 0.

Следующие свойства показывают, как матрицы U и L связаны между собой:

• L^T = U; U^T = L.

• Ядра матриц U и L:

$\ker (U)=\mathrm{span}\{(1,0,\dots ,0{)}^T\},$

$\ker (L)=\mathrm{span}\{(0,\dots ,0,1{)}^T\}.$

• Спектр матриц U и L нулевой (т.е. они имеют единственное собственное значение, и оно равно нулю): $\{0\}$. Алгебраическая кратность этого нуля равна n, а его геометрическая кратность равна 1. Из выражений для ядер следует, что единственный (с точностью до масштабирования) собственный вектор матрицы U имеет вид $(1,0,\dots ,0{)}^T,$ а единственный собственный вектор матрицы L имеет вид $(0,\dots ,0,1{)}^T.$

• Для произведений LU и UL имеем:

$UL=I-\mathrm{diag}(0,\dots ,0,1),$

$LU=I-\mathrm{diag}(1,0,\dots ,0).$

Обе эти матрицы идемпотентны, симметричны и имеют то же ранг, что и U и L.

• L^{n − a}U^{n − a} + L^aU^a = U^{n − a}L^{n − a} + U^aL^a = I (единичная матрица), для любого целого a от 0 до n включительно.

Примеры

$S=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right);A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 2& 3& 2& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$

Тогда: $SA=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 2& 3& 2& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\end{array}\right);AS=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 2& 3& 2& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right).$

Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица $S^{T}AS$ соответствует сдвигу матрицы A вверх и влево вдоль главной диагонали.

$S^{T}AS=\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& 1& 0\\ 2& 3& 2& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

См. также

• Нильпотентная матрица

Ссылки

Shift Matrix — entry in the Matrix Reference Manual