Мартингал

Эта статья — о случайных процессах. О системе в азартных играх см. Мартингейл; об элементе конской упряжи см. Мартингал (конская упряжь).

Остановленное броуновское движение как пример мартингала

Мартинга́л в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (в смысле среднеквадратичного) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

1. $\mathsf{E}|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{\mathbb{N}}$;
2. $\mathsf{E}[X_{n+1}\mid X_1,\dots ,X_n]=X_n,n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.

• Пусть дана другая последовательность случайных величин $\{Y_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ называется мартингалом относительно $\{Y_n\}$ или $\{Y_n\}$-мартингалом, если

1. $\mathsf{E}|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{\mathbb{N}}$;
2. $\mathsf{E}[X_{n+1}\mid Y_1,\dots ,Y_n]=X_n,n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },{ℱ},\mathbb{\mathbb{P}})$ с заданной на нём фильтрацией $\{{{ℱ}}_t{\}}_{t\in T}$, где $T\subset \mathbb{ℝ}$. Тогда случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\in T}$ называется мартингалом относительно $\{{{ℱ}}_t\}$, если

1. $X_t$ измерима относительно ${{ℱ}}_t$ для любого $t\in T$.
2. $\mathsf{E}|X_t|<\mathrm{\infty },t\in T$.
3. $\mathsf{E}[X_t\mid {{ℱ}}_s]=X_s$ почти наверное, $\mathrm{\forall }s,t\in T,s\le t$.

Если в качестве $\{{{ℱ}}_t\}$ взята естественная фильтрация ${{ℱ}}_t=\sigma \{X_s\mid s\le t\}$, то $\{X_t\}$ называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ называется су́б(су́пер)мартингалом относительно $\{Y_n\}$, если

1. $\mathsf{E}|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{\mathbb{N}};$
2. $\mathsf{E}[X_{n+1}\mid Y_1,\dots ,Y_n]\ge (\le )X_n,n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

• Случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\in T},T\subset \mathbb{ℝ}$ называется суб(супер)мартингалом относительно $\{{{ℱ}}_t\}$, если

1. $X_t$ измерима относительно ${{ℱ}}_t$ для любого $t\in T$.
2. $\mathsf{E}|X_t|<\mathrm{\infty },t\in T$.
3. $\mathsf{E}[X_t\mid {{ℱ}}_s]\ge (\le )X_s,\mathrm{\forall }s,t\in T,s\le t$.

Если в качестве $\{{{ℱ}}_t\}$ взята естественная фильтрация ${{ℱ}}_t=\sigma \{X_s\mid s\le t\}$, то $\{X_t\}$ называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если $\{X_t\}$ — мартингал, то $\mathsf{E}{X}_t=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.
• Если $\{X_t\}$ — субмартингал, то $\{-X_t\}$ — супермартингал.
• Если $\{X_t\}$ является мартингалом, а $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ — выпуклая функция, то $\{f(X_t)\}$ — субмартингал. Если $f$ — вогнутая функция, то $\{f(X_t)\}$ — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом.
  • Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом.