Лемма Шварца

Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.

Названа в честь Карлa Шварцa.

Формулировка

Пусть $\mathrm{\Delta }=\{z:|z|<1\}$ — единичный круг на комплексной плоскости $\mathbb{ℂ}$. Далее, пусть функция $f$ аналитична в $\mathrm{\Delta }$ и удовлетворяет двум условиям:

1. $f(0)=0$;
2. $f(\mathrm{\Delta })\subset \bar{\mathrm{\Delta }}$, или, что равносильно, $|f(z)|⩽1$.

Тогда:

1. $|f(z)|⩽|z|$ в $\mathrm{\Delta }$;
2. $|f^{\prime }(0)|⩽1$.

Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид $f(z)=e^{i\phi }z$ , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция $f(z)/z$ будет аналитичной при $|z|<1$ и применения к ней принципа максимума для гармонических функций.

Вариации и обобщения

• Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — С. 192. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.