Лемма Накаямы

Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Названа именем Тадаси Накаямы.

Формулировки

Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, I — идеал в R, а M — конечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m.

Доказательство леммы. Пусть $m_1,m_2,...,m_n$ — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде

$m_i=a_{i1}{m}_1+a_{i2}{m}_2+\dots +a_{in}{m}_n$, где $a_{ij}$ — элементы идеала I. То есть $\sum _j({\delta }_{ij}-a_{ij})m_j=0$ (где ${\delta }_{ij}$ - символ Кронекера) .

Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j

$\det ({\delta }_{ij}-a_{ij})\cdot m_j=0$.

Так как $\det ({\delta }_{ij}-a_{ij})$ представим в виде 1 − a, a из I, лемма доказана.

Следующее следствие из доказанного утверждения также известно как лемма Накаямы:

Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1 − a обратим (например, это так, если I содержится в радикале Джекобсона), необходимо должно быть M = 0.

Доказательство. Существует элемент a идеала I, такой что aM = M, следовательно, (1 − a)M = 0, домножая слева на элемент, обратный к 1 − a, получаем, что M = 0.

Применение к модулям над локальными кольцами

Пусть R — локальное кольцо, $\mathfrak{𝔪}$ — максимальный идеал в R, M — конечнопорождённый R-модуль, и $\varphi :M\to M/\mathfrak{𝔪}M$ — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю $M/\mathfrak{𝔪}M$, которое есть конечномерное векторное пространство над полем $R/\mathfrak{𝔪}$. Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:

Элементы $m_1,m_2,...,m_n\in M$ порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы $\varphi (m_1),\varphi (m_2),...,\varphi (m_n)$ порождают фактормодуль $M/\mathfrak{𝔪}M$.

Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами $m_1,m_2,...,m_n$, Q = M/S — фактормодуль и $\pi :M\to Q$ — гомоморфизм факторизации. Так как $\varphi (m_1),\varphi (m_2),...,\varphi (m_n)$ порождают фактормодуль $M/\mathfrak{𝔪}M$, это означает, что для всякого $m\in M$ существует $s\in S$, такой что $m-s\in \mathfrak{𝔪}M$. Тогда $\pi (m)=\pi (m-s)\in \mathfrak{𝔪}Q$. Поскольку $\pi$ сюръективно, это означает, что $Q=\mathfrak{𝔪}Q$. По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.

Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:

Пусть $\varphi :M\to N$ — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей ${\varphi }_0:M/\mathfrak{𝔪}M\to N/\mathfrak{𝔪}N$. Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно.

На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема:

Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Литература

• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. также

• Тадаси Накаяма