Кривая роста (спектроскопия)

Общий вид кривой роста

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины $W$ спектральной линии поглощения от количества атомов $N$, которые поглощают излучение в этой линии. Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд.

Кривую роста делят на три качественно различимых области. При малых $N$ оптическая толщина поглощающего слоя мала, и эквивалентная ширина растёт прямо пропорционально $W\propto N$ — эта часть кривой роста называется линейной. При достаточно большом $N$ оптическая толщина становится больше единицы: центральная глубина линии перестаёт расти, происходит насыщение линии в центре и рост эквивалентной ширины продолжается за счёт крыльев линии. На этом участке кривой роста, называемом пологим, $W\propto \sqrt{\ln N}$. При ещё большем $N$ начинают заметно расти части крыльев, описываемые лоренцевским профилем. Эта часть кривой роста называется областью затухания излучения, на ней $W\propto \sqrt{N}$.

Кривые роста можно рассчитать теоретически для различных условий в атмосфере звезды. По ним можно определять содержание тех или иных химических элементов в атмосфере звезды, а сравнивая теоретические кривые роста с наблюдаемыми, можно определять различные параметры атмосферы, от которых зависит вид самой кривой роста — например, температуру или скорость микротурбулентных движений.

Зависимость эквивалентной ширины линии поглощения от числа атомов, её образующих, впервые показал в 1931 году Марсел Миннарт.

Описание

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины $W$ спектральной линии поглощения от количества атомов $N$, которые поглощают излучение в этой линии.

Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд. Излучение, выходящее из фотосферы звезды, имеет непрерывный спектр, но при прохождении его через внешние слои звёздной атмосферы излучение поглощается на некоторых длинах волн — в спектре появляются линии поглощения. В каждой такой спектральной линии излучение поглощается определённым атомом в некотором энергетическом состоянии, поэтому чем больше таких атомов на пути излучения, тем сильнее будет поглощение в спектральной линии.

Кривая роста может быть разделена на три части, в порядке возрастания $N$: линейную, где $W\propto N$; пологую, или переходную, в которой $W\propto \sqrt{\ln N}$; и область затухания излучения, где $W\propto \sqrt{N}$.

• 
  Вид профиля спектральной линии Лайман-альфа в единицах интенсивности непрерывного спектра при разных концентрациях водорода: от 10¹² атомов на см² для линии наименьшей глубины до 10²⁰ атомов на см² для самой глубокой линии. Между соседними линиями концентрация меняется в 10 раз.
• 
  Кривые роста для линии Лайман-альфа при разной доплеровской ширине линии $b_d$, связанной с половинной полушириной $g$ гауссовского профиля линии (см. ниже) как $b_d=g/\sqrt{\ln 2}$.

Теория

Эквивалентная ширина

Кривая — профиль спектральной линии поглощения. Эквивалентная ширина W — это ширина прямоугольника (зелёный цвет) при условии, что его площадь равна площади над профилем линии (синий цвет).

Для описания интенсивности спектральных линий поглощения используется понятие эквивалентной ширины $W$: это размер области в длинах волн ($W_{\lambda }$) или в частотах ($W_{\nu }$), в которой непрерывный спектр излучает суммарно столько же энергии, сколько поглощается во всей линии.

Более строго $W$ определяется следующим образом. Интенсивность излучения в спектре на частоте $\nu$ обозначается как $I_{\nu }$, а интенсивность в таком же спектре при отсутствии рассматриваемой линии — $I_{\nu }^0$: для нахождения $I_{\nu }^0$ проводится экстраполяция соседних с линией областей спектра на область, где наблюдается линия, как если бы она отсутствовала. Вводится параметр $a_{\nu }=1-I_{\nu }/I_{\nu }^0$, называемый глубиной линии и представляющий собой долю излучения на частоте $\nu$, которая была поглощена. Тогда эквивалентная ширина связана с ним соотношением $W_{\nu }={\int }_{{\nu }_1}^{{\nu }_2}{a}_{\nu }d\nu$ или $W_{\lambda }={\int }_{{\lambda }_1}^{{\lambda }_2}{a}_{\lambda }d\lambda$ — аналогичные рассуждения можно провести для спектра по длинам волн, а не частотам. Теоретически интегрирование должно производиться от $0$ до $\mathrm{\infty }$, но на практике интегрируют на конечном интервале, включающем в себя основные части линии — как правило, ширина интервала составляет не более нескольких десятков нанометров. В то же время $a_{\nu }$ связана с оптической толщиной поглощающего слоя ${\tau }_{\nu }$ на частоте $\nu$ как $a_{\nu }=1-e^{-{\tau }_{\nu }}$, а ${\tau }_{\nu }$ прямо пропорциональна количеству атомов, отвечающих за поглощение в линии, на единицу площади на луче зрения $N$.

Поведение при малой оптической толщине

В любом случае, когда $N$ мало, то мала и ${\tau }_{\nu }$ во всех частях линии. Тогда $a_{\nu }=1-e^{-{\tau }_{\nu }}$ возрастает практически линейно с ростом ${\tau }_{\nu }$, и, следовательно, $W\propto N$. Когда оптическая толщина становится достаточно большой, то рост $a_{\nu }$ в центре линии замедляется, а затем практически останавливается — линейный рост продолжается, пока оптическая толщина в центре линии ${\tau }_0$ по порядку величины меньше единицы. Увеличение $W$ замедляется, но не прекращается, поскольку в крыльях — боковых частях линии — ${\tau }_{\nu }$ ещё невелико. Связь между $W$ и $N$ для оптически толстых сред зависит от вида профиля спектральной линии.

Поведение при большой оптической толщине

Как правило, различные механизмы уширения, отдельно взятые, приводят либо к гауссовскому распределению ${\tau }_{\nu }$ (например, тепловое движение атомов), либо к лоренцевскому распределению (к примеру, естественная ширина линии и уширение за счёт столкновений). Совместное действие этих механизмов приводит к образованию фойгтовского профиля, который является свёрткой гауссовского и лоренцевского. Поскольку в лоренцевском профиле крылья убывают гораздо медленнее, чем в гауссовском, то в соответствующем фойгтовском профиле дальние части крыльев в любом случае близки к лоренцевскому профилю. Вид центральной части линии зависит от ширин гауссовского и лоренцевского профилей: если гауссовский профиль значительно шире, то центральная часть фойгтовского профиля будет близка к гауссовскому, и наоборот.

Гауссовский профиль

Распределение оптической толщины в линии с гауссовским профилем имеет следующий вид:

$\tau (x)={\tau }_0\exp (-\frac{x^2\ln 2}{g^2}),$

где ${\tau }_0$ — оптическая толщина в центре линии, $g$ — половинная полуширина линии, $x$ — расстояние до центра линии. Для удобства можно сделать замену $u=\frac{x\sqrt{\ln 2}}{g}$, тогда $u$ — расстояние от центра линии в величинах доплеровской ширины, равной $g/\sqrt{\ln 2}$. Эквивалентная ширина линии с такими параметрами может быть выражена так:

$W=\frac{2g}{\sqrt{\ln 2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-\exp [-{\tau }_0{e}^{-u^2}])du$

Интеграл в этом выражении не берётся аналитически, но можно приближённо считать, что при больших ${\tau }_0$, соответствующих насыщенным линиям, подынтегральное выражение близко к 0 при больших $u$ и к 1 при малых. Условием границы между «большими» и «малыми» $u$ можно взять значение $u_0$, при котором ${\tau }_0{e}^{-u_0^2}=1$. Это условие выполняется при $u_0=\sqrt{\ln {\tau }_0}$, так что $W$ с хорошей точностью оказывается пропорционально $\sqrt{\ln {\tau }_0}$, а значит, $W\propto \sqrt{\ln N}$. Приближённое вычисление самого интеграла приводит к такому же результату.

Лоренцевский профиль

В линии с лоренцевским профилем распределение оптической толщины записывают в виде:

$\tau (x)={\tau }_0\frac{l^2}{l^2+x^2},$

где ${\tau }_0$ — оптическая толщина в центре линии, $l$ — половинная полуширина линии, $x$ — расстояние до центра линии. Для удобства делается замена $y=x/l$, тогда $y$ — расстояние от центра линии в единицах половинной полуширины. Эквивалентная ширина в этом случае принимает вид:

$W=2l\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-\exp [-\frac{{\tau }_0}{y^2+1}])dy$

При достаточно больших ${\tau }_0$ центр линии оказывается насыщенным, а убывание оптической толщины в крыльях происходит приблизительно как $y^{-2}$. Тогда ширина приближённо выражается:

$W=2l\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-\exp [-\frac{{\tau }_0}{y^2}])dy$

Если сделать замену $z^2={\tau }_0/u^2$:

$W=2l\sqrt{{\tau }_0}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-\exp [-z^2])d(1/z)$

Таким образом, для лоренцевского профиля $W$ растёт пропорционально$\sqrt{{\tau }_0}$, а значит, $W\propto \sqrt{N}$.

Фойгтовский профиль

Линии поглощения в спектрах звёзд, как правило, описываются фойгтовским профилем, в котором лоренцевская ширина очень мала по сравнению с гауссовской. Это значит, что центральные части линий близки к гауссовским, а крылья — к лоренцевским.

Таким образом, при достаточно больших значениях $N$ оптическая толщина в центре становится больше единицы, но крылья лоренцевского профиля ещё слишком слабы, и рост $W$ происходит в основном за счёт областей, где профиль линии близок к гауссовскому — пропорционально $\sqrt{\ln N}$. При очень больших $N$ дальние части крыльев линии, описываемые лоренцевским профилем, становятся достаточно сильными и $W$ начинает расти приблизительно пропорционально $\sqrt{N}$. Типичное значение оптической толщины в центре линии, при которой происходит переход от пологой части кривой роста к области радиационного затухания, составляет около 10³, хотя оно зависит от отношения лоренцевской и гауссовской ширины: чем больше лоренцевская ширина, тем при меньших ${\tau }_0$ происходит переход.

Использование

Кривые роста можно рассчитать теоретически для заданной модели звёздной атмосферы — в общем случае для этого необходимо решать уравнение переноса излучения для заданных условий в атмосфере звезды, таких как температура, плотность вещества и других параметров в зависимости от глубины в атмосфере. Таким образом, сравнение теоретических кривых роста с наблюдаемыми позволяет измерять те параметры звёзд, от которых зависит кривая роста, а эквивалентные ширины линий позволяют определять содержание соответствующих химических элементов.

Для отдельно взятой звезды кривая роста определённой линии может быть построена по мультиплетам — наборам спектральных линий, которые соответствуют переходам с общего нижнего уровня. Число атомов $N$ неизвестно для данной звезды, но для всех этих переходов заведомо одно и то же. Кроме того, обычно известны вероятности переходов, поэтому для мультиплета может быть выбрано подходящее семейство кривых роста и определено $N$.

Вид кривой роста зависит, к примеру, от температуры звезды и от скорости микротурбулентных движений газа в ней. Повышение температуры и увеличение скорости микротурбулентности увеличивают гауссовскую ширину линии, уменьшая при этом оптическую глубину в её центре — при этом эквивалентная ширина остаётся прежней, но насыщение линии и прекращение линейного роста наступает при большем $N$ и при большей эквивалентной ширине. Кроме того, микротурбулентность и температура по-разному влияют на кривую роста: при одной и той же температуре атомы разных масс имеют разные средние скорости, и гауссовская ширина линий таких атомов различается. Микротурбулентность же вызывает движение с одинаковыми скоростями — это позволяет разделять эффекты температуры и микротурбулентности.

История изучения

В 1931 году Марсел Миннарт впервые показал, как эквивалентная ширина линии поглощения зависит от числа атомов, её образующих. Другие учёные, среди которых были Дональд Мензел и Альбрехт Унзольд, впоследствии дорабатывали теорию кривой роста.

Литература

• Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. — Изд. 3-е, переработанное. — М.: Наука, 1985. — 504 с.