Кривая Евдокса

График кривой Евдокса с a = 1

Кривая Евдокса (греческий: καμπύλη [γραμμή], что переводится как «кривая [линия]») — это кривая с уравнением в декартовых координатах

$x^4=a^2(x^2+y^2),$

из которого исключается решение x = y = 0.

Альтернативные параметризации

В полярной системе координат кривая Евдокса имеет уравнение

$r=a{\sec }^2\theta .$

Эквивалентно, кривая имеет параметрическое представление

$x=a\sec (t),y=a\tan (t)\sec (t).$

История

Эту кривую четвёртой степени изучал греческий астроном и математик Евдокс Книдский (408—347 до нашей эры) в связи с классической задачей удвоения куба.

Свойства

Кривая Евдокса симметрична как относительно оси x, так и оси y. Она пересекает ось x в точках (±a,0). Кривая имеет точки перегиба

$(\pm a\frac{\sqrt{6}}{2},\pm a\frac{\sqrt{3}}{2})$

(четыре точки перегиба, по одной в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотически приближается к $x^2/a-a/2$ при $x\to \mathrm{\infty }$, и, фактически, можно записать

$y=\frac{x^2}{a}\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}=\frac{x^2}{a}-\frac{a}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{\left(\frac{a}{2x}\right)}^{2n},$

где

$C_n=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$

является $n$-м числом Каталана.

Ссылки

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
• Weisstein, Eric W. Kampyle of Eudoxus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.