Компактное пространство

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства. Понятие компактности предполагает, что бесконечная последовательность точек имеет предельные значения. Например, числовая ось не является компактной, так как последовательность натуральных чисел не имеет предельной величины. Открытый отрезок $(0,1)$ не является компактным, так как он исключает предельные значения $0$ и $1$, и, в тоже время, замкнутый отрезок $[0,1]$ является компактным, поскольку точки $0$ и $1$ находятся на нем.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение компактности равносильно современному.

Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства.

Примеры компактных множеств

• Замкнутые ограниченные множества в ${\mathbb{ℝ}}^n$.
• Конечные подмножества топологических пространств.
• Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве $C(X)$ вещественных функций на метрическом компактном пространстве $X$ с нормой $\Vert f\Vert =\underset{x}{\sup }|f(x)|$: замыкание множества функций $F$ в $C(X)$ компактно тогда и только тогда, когда $F$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
• Пространство Стоуна булевых алгебр.
• Компактификация топологического пространства.

Связанные определения

• Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
• Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно.
• Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
• Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
• Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
• Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
• H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве.

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

• Свойства, равносильные компактности:
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
  • Топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в $X$.
• Другие общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально.
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто.
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто.
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • Компактные множества «ведут себя как точки». Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы.
  • Каждое конечное топологическое пространство компактно.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля.
  • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия $\{V_{\alpha }\},\alpha \in A$ существует положительное число $r$ такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше $r$, содержится в одном из множеств $V_{\alpha }$. Такое число $r$ называется числом Лебега.

См. также

• Компактификация

Литература

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.). — 4-е изд.. — М.: Наука, 1976.
• Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
• Протасов, В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии (рус.). — М.: МЦНМО, 2005. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Шварц, Л. Анализ (рус.). — М.: Мир, 1972. — Т. I.
• Келли, Дж. Л. Общая топология (рус.). — М.: Наука, 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология (рус.). — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Архангельский, А.В. Бикомпактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
• Войцеховский, М. И. Компактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.