Группа Кремоны

Группа Кремоны — это группа бирациональных автоморфизмов $n$-мерного проективного пространства над полем $k$. Группу ввёл в рассмотрение в 1863—1865 годах Луиджи Кремона. Группа обозначается как $Cr({\mathbb{\mathbb{P}}}^n(k))$, $Bir({\mathbb{\mathbb{P}}}^n(k))$ или $C{r}_n(k)$.

Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_k(k(x_1,...,x_n))$ поля рациональных функций от $n$ неизвестных над $k$, или трансцендентным расширением поля $k$ со степенью трансцендентности $n$.

Проективная полная линейная группа порядка $n+1$ проективных преобразований содержится в группе Кремоны порядка $n$. Они совпадают только в случаях, когда $n=0$ или $n=1$, в которых числитель и знаменатель преобразования линейны.

Группа Кремоны в пространствах размерности 2

В пространствах размерности два Гизатуллин дал полное описание соотношений для системы образующих группы. Структура этой группы остаётся не вполне понятной, хотя имеется большое число работ по нахождению её элементов или подгрупп.

• Серж Канта и Стефан Лами показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа.
• Жереми Бланк показал, что группа не имеет нетривиальных нормальных подгрупп и замкнута в естественной топологии.
• Долгачёва и Исковских написали статью о конечных подгруппах группы Кремоны.

Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше

Мало известно о структуре группы Кремоны в пространствах размерности 3 и выше, хотя много элементов этой группы описано. Бланк показал, что она (линейно) связна, ответив на вопрос Серра. Нет простого аналога теореме Нётера — Кастельнуово, поскольку Хадсон показала, что группа Кремоны в размерности по меньшей мере 3 не порождается её элементами степени, ограниченной любым фиксированным числом.

Группы де Жонкьера

Группа де Жонкьера — это подгруппа группы Кремоны следующего вида. Выберем базис трансцендентности $x_1,...,x_n$ для расширения поля $k$. Тогда группа де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов $k(x_1,...,x_n)$, отображающих подполе $k(x_1,...,x_r)$ в себя для некоторого $r⩽n$. Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов $k(x_1,...,x_n)$ над полем $k(x_1,...,x_r)$, а фактор-группа является группой Кремоны $k(x_1,...,x_r)$ над полем $k$. Она может считаться группой бирациональных автоморфизмов расслоённого пучка ${\mathbb{\mathbb{P}}}^r\times {\mathbb{\mathbb{P}}}^{n-r}\to {\mathbb{\mathbb{P}}}^r$.

Если $n=2$ и $r=1$, группа де Жонкьера является группой Кремоны преобразований, сохраняющих пучок прямых через данную точку, и она является полупрямым произведением ${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(k)$ и ${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(k(t))$.

Литература

• Maria Alberich-Carramiñana. Geometry of the plane Cremona maps. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 1769. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-42816-9. — doi:10.1007/b82933.
• Jérémy Blanc. Groupes de Cremona, connexité et simplicité // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 2010. — Т. 43, вып. 2. — С. 357–364. — ISSN 0012-9593. — doi:10.24033/asens.2123.
• Serge Cantat, Stéphane Lamy. Normal subgroups in the Cremona group // Acta Mathematica. — 2010. — Т. 210, вып. 2013. — С. 31–94. — . — arXiv:1007.0895.
• Julian Lowell Coolidge. A treatise on algebraic plane curves. — Oxford University Press, 1931. — ISBN 978-0-486-49576-7.
• Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane. — Giornale di matematiche di Battaglini. — 1863. — Т. 1.
• Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane // Giornale di matematiche di Battaglini. — 1865. — Т. 3.
• Michel Demazure. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1970. — Т. 3. — С. 507–588. — ISSN 0012-9593.
• Igor V. Dolgachev. Classical Algebraic Geometry: a modern view. — Cambridge University Press, 2012. — ISBN 978-1-107-01765-8. Архивная копия от 31 мая 2014 на Wayback Machine
• Igor V. Dolgachev, Vasily A. Iskovskikh. Finite subgroups of the plane Cremona group // Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2009. — Т. 269. — С. 443–548. — (Progr. Math.). — ISBN 978-0-8176-4744-5. — doi:10.1007/978-0-8176-4745-2_11.
• Долгачёв И.В., Исковских В.А. Геометрия алгебраических многообразий. — 1974. — Т. 12. — С. 77=170. — (Итоги науки и техники. Сер. Алгебра, Топология, Геометрия).
• Гизатуллин М. Х. Определяющие соотношения для кремоновой группы плоскости // Изв. АН СССР.. — 1982. — Т. 46, № 5. — С. 211–268.
• Lucien Godeaux. Les transformations birationelles du plan. — Gauthier-Villars et Cie, 1927. — Т. 22. — (Mémorial des sciences mathématiques).
• Michiel Hazewinkel. Cremona group, Cremona transformation // Encyclopedia of Mathematics. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Hilda Phoebe Hudson. Cremona transformations in plane and space. — Cambridge University Press, 1927. — ISBN 978-0-521-35882-8.
• Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. — The Clarendon Press Oxford University Press, 1985. — (Oxford Science Publications). — ISBN 978-0-19-853363-4.
• Jean-Pierre Serre. A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank 2 over an arbitrary field // Moscow Mathematical Journal. — 2009. — Т. 9, вып. 1. — С. 193–208. — ISSN 1609-3321.
• Jean-Pierre Serre. Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis. — Astérisque. — 2010. — С. 75–100. — (Seminaire Bourbaki 1000). — ISBN 978-2-85629-291-4.