Гипотезы Вейля

Гипотезы Вейля — математические гипотезы о локальных дзета-функциях проективных многообразий над конечными полями.

Гипотезы Вейля утверждают, что локальные дзета-функции должны быть рациональны, удовлетворять функциональному уравнению, а их нули лежать на критических прямых. Последние 2 гипотезы аналогичны гипотезе Римана для дзета-функции Римана.

Гипотезы в общем виде были сформулированы Андре Вейлем в 1949 году, рациональность была доказана Бернардом Дворком в 1960 году, функциональное уравнение — Александром Гротендиком в 1965 году, аналог гипотезы Римана — Пьером Делинем в 1974 году.

Формулировка гипотез Вейля

Пусть $X$ — неособое $n$-мерное проективное алгебраическое многообразие над конечным полем ${\mathbb{𝔽}}_q$. Его конгруэнц-дзета-функция определяется как

$Z(X,T)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_k}{k}{T}^k\right),$

где $N_k$ — число точек $X$ над $k$-мерным расширением ${\mathbb{𝔽}}_{q^k}$ поля ${\mathbb{𝔽}}_q$. Локальная дзета-функция $\zeta (X,s)=Z(X,q^{-s})$.

Гипотезы Вейля утверждают следующее:

1. (Рациональность) $Z(X,T)$ является рациональной функцией $T$. Точнее, $Z(X,T)$ может быть представлено в виде конечного произведения

$Z(X,T)=\prod _{i=0}^{2n}{P}_i(T{)}^{(-1{)}^{i+1}}=\frac{P_1(T)\cdot \dots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\cdot \dots \cdot P_{2n}(T)},$

где каждый $P_i(T)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Причем $P_0(T)=1-T,P_{2n}(T)=1-q^{n}T$, а для всех $i:1⩽i⩽2n-1$ $P_i(T)=\prod _j(1-{\alpha }_{ij}T)$ над $\mathbb{ℂ}$, а ${\alpha }_{ij}$ — некоторые целые алгебраические числа.

2. (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет соотношению

$\zeta (X,n-s)=\pm q^{\frac{nE}{2}-Es}\zeta (X,s)$

или эквивалентно

$Z(X,\frac{1}{q^{n}T})=\pm q^{nE/2}{T}^{E}Z(X,T),$

где $E$ — эйлерова характеристика $X$ (индекс самопересечения диагонали $\mathrm{\Delta }(X)$ в $X\times X$).

3. (Гипотеза Римана) для всех $i,j$ $|{\alpha }_i|=q^{i/2}$. Отсюда следует, что все нули $P_k(q^{-s})$ лежат на «критической прямой» $\mathrm{Re}s=k/2$.

4. (Числа Бетти) Если $X$ является хорошей редукцией по модулю $p$ неособого проективного многообразия $Y$, определённым над некоторым числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, то степень $\mathrm{deg}{P}_i={\beta }_i(Y)$, где ${\beta }_i$ — число Бетти пространства комплексных точек $Y$.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.