Волны Рэлея

Схема волны Рэлея. Показана деформация тела и траектория движения выделенной точки. Для наглядности деформации и смещения утрировано увеличены.

Во́лны Рэле́я — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея, теоретически предсказавшего их в 1885 году.

Описание

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.

Волна Рэлея в изотропном теле

Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде:

$\rho \frac{{\partial }^2\text{U}}{\partial t^2}=\mu \mathrm{\Delta }\text{U}+(\lambda +\mu )\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">grad</mrow>}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">div</mrow>}\text{U},$

(1)

где U — смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=U_t+U_l, где U_l=grad φ и U_t=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений:

$\rho \frac{{\partial }^2{\text{U}}_l}{\partial t^2}-(\lambda +2\mu )\mathrm{\Delta }{\text{U}}_l=0,$

(2.1)

$\rho \frac{{\partial }^2{\text{U}}_t}{\partial t^2}-\mu \mathrm{\Delta }{\text{U}}_t=0.$

(2.2)

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид:

$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}-k_l^2\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0,$

(3.1)

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}-k_t^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=0,$

(3.2)

где $k_l=\omega \sqrt{\rho /(\lambda +2\mu )},$ $k_t=\omega \sqrt{\rho /\mu },$ — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн:

$\varphi =A\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}[-qz+i(kx-\omega t)],$

(4.1)

$\psi =B\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}[-sz+i(kx-\omega t)],$

(4.2)

где $q^2=k^2-k_l^2$; $s^2=k^2-k_t^2$; $k^2>k_t^2>k_l^2$; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде:

$U_x=\frac{\partial \varphi }{\partial x}-\frac{\partial \psi }{\partial z},$

(5.1)

$U_z=\frac{\partial \varphi }{\partial z}+\frac{\partial \psi }{\partial x}.$

(5.1)

В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение:

$T_{zz}=\lambda (\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2})+2\mu (\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x\partial z})=0,$

(6.1)

$T_{xz}=\mu (2\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2})=0.$

(6.2)

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно:

${\eta }^6-8{\eta }^4+8(3-2{\xi }^2){\eta }^2-16(1-{\xi }^2)=0,$

(6)

где $\eta =k_t/k$, $\xi =k_l/k_t$. Это уравнение имеет единственный корень, относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

${\eta }_R=\frac{0,87+1,12\nu }{1+\nu }.$

(7)

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны:

$U_x=A{k}_R(\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}(-q_{R}z)-\frac{2q_R{s}_R}{k_R^2+s_R^2}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}(-s_{R}z))\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}\left[i(k_{R}x-\omega t-\frac{\pi }{2})\right],$

(8.1)

$U_z=A{q}_R(\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}(-q_{R}z)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}(-s_{R}z))\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">exp</mrow>}\left[i(k_{R}x-\omega t)\right].$

(8.2)

Дисперсионная кривая псевдорэлеевских волн

Практическое применение волн рэлеевского типа

Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в инженерной сейсморазведке для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей, железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рисунок). Этот способ широко используется практически и обоснован с точки зрения теории упругости.

Литература

• Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.