Многоугольник

Различные типы многоугольников

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин.

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.

Связанные определения

Основной источник:

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить $180^{\circ }$ в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между $180^{\circ }$ и внутренним углом, он может принимать значения от $-180^{\circ }$ до $180^{\circ }$.
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойства

Основной источник:

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с $n$ вершинами называется $n$-угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность

Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного $n$-угольника равен $\{n\}$.
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности. Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Вписанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.

Вписанные многоугольники используются в методе исчерпывания. Древнегреческий мыслитель Архимед анализируя вписанныые в окружность многоугольники, возможно, первым предложил математический способ вычисления $\pi$. Архимед приближал вписанные многоугольники к окружности по мере увеличения числа их сторон. Принимая диаметр окружности за единицу, Он рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника — как верхнюю оценку.

Площадь встроенного правильного многоугольника равна $S=\frac{m}{2}{r}^2\sin (\frac{2\pi }{m})$, где $m$ - число сторон, а $r$-радиус окружности

Площадь правильного, встроенного в окружность n-угольника равна:

$S=\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{2\pi }{n}$,

где $r$ - радиус окружности

Общие свойства

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов простого плоского $n$-угольника равна $180^{\circ }(n-2)$. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна $360^{\circ }.$

Число диагоналей

• Число диагоналей всякого $n$-угольника равно $\frac{n(n-3)}{2}$.

Площадь

Пусть $\{(X_i,Y_i)\},i=1,2,...,n$ — последовательность координат соседних друг другу вершин $n$-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

$S=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n(X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})|$, где $(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1)$.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона .

Площадь правильного $n$-угольника вычисляется по одной из формул:

• половина произведения периметра $n$-угольника на апофему:

• $S=\frac{n}{4}{a}^2\mathrm{ctg}\frac{\pi }{n}$.

• $S=\frac{1}{2}n{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n};$

• $S=n{r}^2\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{n}$

где $a$ — длина стороны многоугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\epsilon >0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$, таких, что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\epsilon$, где $S(P)$ обозначает площадь $P$.

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.