Валюация

Валюация — обобщение понятия меры, обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.

Определение

Пусть $K^n$ — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в ${\mathbb{ℝ}}^n$. Валюация на $K^n$ есть функция $v:K^n\to \mathbb{ℝ}$ такая, что равенство

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)$

выполняется для любых $S,T\in K^n$ таких, что $S\cup T\in K^n$,

Замечания

• Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
• Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого $S\in K^n$ выполняется

  $v(S)=v(\varphi (S))$

Примеры

Средняя поперечная мера

$k$-ая средняя поредняя поперечная мера $W_k(S)$ тела $S\in K^n$ определяется как средняя $k$-мерная площадь проекций $S$ на $k$-мерные плоскости.

В частности,

• $W_n(S)$ — объём $S$,
• $W_{n-1}(S)$ — пропорциональна площади поверхности $S$.
• $W_k(\lambda \cdot S)=|\lambda {|}^k\cdot W_k(S)$

Валюация Дирака

Валюация Дирака ${\delta }_x$ точки $x$ определяется как

${\delta }_x(U)=\{\begin{array}{ll}0& \text{если}x\notin U\\ 1& \text{если}x\in U\end{array}$

Свойства

• Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер.
• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и $\mathrm{S}\mathrm{L}(n,\mathbb{\mathbb{Z}})$, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.

Литература

• Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль