Уравнение xʸ = yˣ

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство $x^y=y^x$ выполняется для некоторых пар $(x,y),$ например, $x=2,y=4.$

История

Уравнение $x^y=y^x$ упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728). В письме говорится, что при $x\ne y$ пара $(2,4)$ — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729) содержится общее решение уравнения, полученное заменой $y=vx.$ Аналогичное решение дано Эйлером. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если $r,n$ — положительные целые, $r⩾3$ или $n⩾3,$ то $r^{r+n}>(r+n{)}^r,$ таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи $x=1$ и $x=2.$

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема, что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля.

Решения в действительных числах

Основной источник:

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения $x=y.$ Нетривиальные решения можно найти, положив $x\ne y,$ $y=vx.$ Тогда

$(vx{)}^x=x^{vx}=(x^v{)}^x.$

Возведение обеих сторон в степень $\frac{1}{x}$ с последующим делением на $x$ даёт

$v=x^{v-1}.$

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

$x=v^{\frac{1}{v-1}},$

$y=v^{\frac{v}{v-1}}.$

Нетривиальное решение в натуральных числах $4^2=2^4$ можно получить, положив $v=2$ или $v=\frac{1}{2}.$

Решение в терминах W-функции Ламберта

Решение уравнения $y^x=x^y$ возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта $W(x)$ от переменной $x$:

$y^x=x^y⟺y^{\frac{1}{y}}=x^{\frac{1}{x}}$, сделаем замену $x=\frac{1}{z}$:

$y^{\frac{1}{y}}=(\frac{1}{z}{)}^{1÷\frac{1}{z}}⟺(\frac{1}{z}{)}^z=y^{\frac{1}{y}}⟺z^{-z}=y^{\frac{1}{y}}⟺z^z=y^{-\frac{1}{y}}$

Теперь переменную $z$ можно выразить через W-функцию Ламберта: $z=e^{W(\ln (y^{-\frac{1}{y}}\left)\right)}$

Окончательно решение будет выглядеть так: $x=e^{-W(\ln (y^{-\frac{1}{y}}\left)\right)}$

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке $e^{-\frac{1}{e}}⩽y^{-\frac{1}{y}}<1$ или $e^{\frac{1}{e}}⩽y^{\frac{1}{y}}<1$ уравнение буде иметь два корня $x_1,x_2$.

Какой из параметров ($y$ или $x$), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной $x$(или $y$) верно неравенство $y$(или $x$)<$e^{\frac{1}{e}}$, то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах суперкорня второй степени

Уравнение $y^x=x^y$ является частным случаем уравнения $y^x=b{x}^n,y,b=const$ при $b=1$ и $n=y$. Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:

$y^x=x^y⟺x_{1,2,3}=y{\log }_y\left({}^{\frac{1}{2}}\right(y^{\pm \frac{1}{y\times \sqrt[y]{1}}}){)}^{-1}⟺x_{1,2,3}=-y{\log }_y({}^{\frac{1}{2}}\left(y^{\pm \frac{1}{y}}\right))$

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений $y^x=x^y$ и $y^x=(-x{)}^y$ при чётном $y$, однако, на практике, существует только, максимум, два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени $f(z)={}^{\frac{1}{2}}z$ есть обратная к вышеописанной функции $f(z)=z^z$ (иначе $f(z)={}^{2}z$), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может.

Из данного решения вытекает тождественное равенство: $-y{\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}$. Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

$-y{\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}⟺{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}}){\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}$, далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

${\log }_y({}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}}){)}^{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}=-\frac{1}{y}⟺{\log }_y(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}$. Доказанное тождество является частным от более общего случая при $b=-y$.

Ссылки

• Rational Solutions to x^y = y^x  (неопр.). CTK Wiki Math.
• x^y = y^x - commuting powers  (неопр.). Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Архивировано 28 декабря 2015 года.
• dborkovitz. Parametric Graph of x^y=y^x  (неопр.). GeoGebra (29 января 2012).
• Последовательность A073084 в OEIS: Десятичное разложение -x, где x — отрицательное решение уравнения 2^x = x^2