Интегральная показательная функция

График функции $\mathrm{Ei}(x)$

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом $\mathrm{Ei}$.

Определение на множестве вещественных чисел

Наиболее распространено следующее определение $\mathrm{Ei}$ (см. график):

$\mathrm{Ei}(x)=\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t=\gamma +\ln |x|+\sum _{n\ge 1}\frac{x^n}{n!\cdot n},x\in \mathbb{ℝ},(1)$

где $\gamma$ есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Основное определение

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом

$\mathrm{Ei}(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t=\gamma +\ln (-z)+\sum _{n\ge 1}\frac{z^n}{n!\cdot n},|\arg (-z)|<\pi ,(2)$

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от $z$, но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку $t=0$, в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно $1/t$. Таким образом, функция $\mathrm{Ei}(z)$ является многозначной, а особая точка $z=0$ является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией $\ln z$, различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном $z$) кратно $2\pi i$.

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) $\mathrm{Ei}$, соответствующую главной ветви $\ln$ в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для $\ln z$ (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции $\mathrm{Ei}(z)$. Фиксируем также и главную ветвь аргумента: $-\pi <\arg z\le \pi$ и далее будем считать, что $\mathrm{Ei}$ — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение $\mathrm{Ei}$ при вычислении интегралов

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию $\mathrm{Ei}$ и элементарные функции.

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что $b>0$)

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{ibx}\mathrm{d}x}{x+iz}=\{\begin{array}{ll}-e^{bz}\mathrm{Ei}(-bz),& \arg z\in ̸[\pi /2,\pi ],\\ -e^{bz}[\mathrm{Ei}(-bz)-2\pi i],& \arg z\in (\pi /2,\pi ).\end{array}(2)$

Из (2) следует, что при вещественных значениях $y$ и $b$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\cos bx\mathrm{d}x}{x^2+y^2}=-\frac{1}{2}[e^{|by|}\mathrm{Ei}(-|by|)+e^{-|by|}{\mathrm{Ei}}_1(|by|)],(3)$

где ${\mathrm{Ei}}_1$ есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция:

${\mathrm{Ei}}_1(y)=\frac{1}{2}[\mathrm{Ei}(y+i0)+\mathrm{Ei}(y-i0)]=\gamma +\ln y+\sum _{n\ge 1}\frac{y^n}{n!\cdot n},y>0,{\mathrm{Ei}}_1(y)\in \mathbb{ℝ}.(4)$

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию ${\mathrm{Ei}}_1$ обозначают символом $\mathrm{Ei}$, что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\sin bx\mathrm{d}x}{x^2+z^2}=\frac{\pi }{2}\exp [-bz\mathrm{sign}\mathrm{\Im }z],b>0.$

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов $b$ и $y$. Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) $\mathrm{Ei}$] символа ${\mathrm{Ei}}_1$.

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра $z$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\cos bx\mathrm{d}x}{x^2+z^2}=-\frac{1}{2}\{e^{bz}\mathrm{Ei}(-bz)+e^{-bz}[\mathrm{Ei}(bz)+\pi i\mathrm{sign}\mathrm{\Im }z]\},b>0,\mathrm{\Re }z\ne 0.(5)$

Формулу (3) для $b>0$ и $y>0$ можно получить, положив $z=y\pm i0$ в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова, однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений $z$ и при условии, что для функции $\mathrm{Ei}$ используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа $\mathrm{Ei}$ вместо ${\mathrm{Ei}}_1$) нельзя полностью доверять также и справочникам.

См. также

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус