Экспонента

Экспоне́нта — показательная функция $f (x) = \exp (x) = e^{x}$ , где $e \approx 2, 718$ — число Эйлера.

Определение[править]

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

e^{x} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots

или через предел:

e^{x} = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n}

.

Здесь $x$ — любое комплексное число.

Происхождение понятия[править]

Слово экспонента происходит от лат. "exponere", что переводится как "выставить вперёд; показать", которое в свою очередь произошло от лат. приставки "ex-" ("впереди") и лат. слова "ponere" ("ставить, расположить");^[1] Смысл использования такого слова для показателя степени заключается в том, что знак экспоненты "ставят вне" привычной линии письма $a^{x}$ (немного выше и правее места, где обычно должна быть поставлена цифра).

Свойства[править]

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения $y^{'} = y$ с начальными данными $y (0) = 1$ . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
Экспонента определена на всей вещественной оси. На ней экспонента всюду возрастает и строго больше нуля.
Экспонента — выпуклая функция.
Обратная функция к ней — натуральный логарифм $(\ln x)$ .
Преобразование Фурье экспоненты — обобщённая функция, а именно дельта-функция Дирака.
Преобразование Лапласа экспоненты $e^{a x}$ определено в области $Re (x) < a$ .
Производная в нуле равна $1$ , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом $4 5^{\circ}$ или $\frac{π}{4}$ .
Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
$\exp (a + b) = \exp (a) \exp (b)$ .
- Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна $0$ , либо имеет вид $\exp (c x)$ , где $c$ — некоторая константа.

$e^{x} = sh x + ch x$ , где $sh$ и $ch$ — гиперболические синус и косинус.

Комплексная экспонента[править]

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением $f (z) = e^{z}$ , где $z$ есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты $f (x) = e^{x}$ вещественного переменного $x$ :

Определим формальное выражение

e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} \cdot e^{i y}

.

Определённое таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции $e^{z}$ , то есть показать, что $e^{z}$ разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

f (z) = e^{z} = e^{x} \cdot e^{i y} = e^{i y} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

.

Сходимость данного ряда легко доказывается:

| e^{i y} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} | \leq | \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} | \leq \sum_{n = 0}^{\infty} | \frac{x^{n}}{n!} | = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{| x |^{n}}{n!} = e^{| x |}

.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции $f (z) = e^{z}$ . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция $e^{z}$ всюду определена и аналитична.

Свойства[править]

Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
$e^{z}$ — периодическая функция с основным периодом 2π i: $e^{i φ} = e^{i (φ + 2 π)}$ . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой $2 π$ .
$e^{z}$ — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а соответственно, и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
Алгебраически экспонента от комплексного аргумента z=x+iy может быть определена следующим образом:
$e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} e^{i y} = e^{x} (\cos y + i \sin y)$ (формула Эйлера).
- В частности, имеет место тождество Эйлера:
  $e^{i π} + 1 = 0 .$

Вариации и обобщения[править]

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента[править]

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

\exp A = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} .

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора $A$ с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы $A :$ $\exp ‖ A ‖ .$ Следовательно, экспонента от матрицы $A \in ℝ^{n \times n}$ всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение $\dot{x} = A x, x \in ℝ^{n}$ с начальным условием $x (0) = x_{0}$ имеет своим решением $x (t) = \exp (A t) x_{0} .$

h-экспонента[править]

Введение $h$ -экспоненты основано на втором замечательном пределе:

e_{h} (x) = (1 + h)^{\frac{x}{h}} .

При $h \to 0$ получается обычная экспонента^[2].

Обратная функция[править]

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается $\ln x$ :

\ln x = \log_{e} x .

См. также[править]

Примечания[править]

Литература[править]

Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки[править]

An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)

[1] xponent (n.) (англ.).

[2] A.I. Olemskoi, S.S. Borysov, a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi

[1]

[2]