Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение: $\arcsin x;$ угол, синус которого равен $x$)
• арккосинус (обозначение: $\arccos x;$ угол, косинус которого равен $x$ и т. д.)
• арктангенс (обозначение: $\mathrm{arctg}x$; в иностранной литературе $\arctan x$)
• арккотангенс (обозначение: $\mathrm{arcctg}x$; в иностранной литературе $\mathrm{arccot}x$ или $\mathrm{arccotan}x$)
• арксеканс (обозначение: $\mathrm{arcsec}x$)
• арккосеканс (обозначение: $\mathrm{arccosec}x$; в иностранной литературе $\mathrm{arccsc}x$)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: ${\sin }^{-1},\frac{1}{\sin },$ но они не прижились. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п., — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, $\arcsin 1/2$ означает множество углов $(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}\dots (30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots ))$, синус которых равен $1/2$. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии $-1⩽\alpha ⩽1$ все решения уравнения $\sin x=\alpha$ можно представить в виде $x=(-1{)}^n\arcsin \alpha +\pi n,n=0,\pm 1,\pm 2,\dots .$

Основное соотношение

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}$

Функция arcsin

График функции $y=\arcsin x$

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого $\sin y=x,-\frac{\pi }{2}⩽y⩽\frac{\pi }{2},|x|⩽1.$

Функция $y=\arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

• $\sin (\arcsin x)=x$ при $-1⩽x⩽1,$
• $\arcsin (\sin y)=y$ при $-\frac{\pi }{2}⩽y⩽\frac{\pi }{2},$
• $D(\arcsin x)=[-1;1]$ (область определения),
• $E(\arcsin x)=[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ (область значений).
• Функция $x=\arcsin u$ обратная функции $u=\sin x$ часто обозначается $x={\sin }^{-1}u$

Свойства функции arcsin

• $\arcsin (-x)=-\arcsin x$ (функция является нечётной).
• $\arcsin x>0$ при $0<x⩽1$.
• $\arcsin x=0$ при $x=0.$
• $\arcsin x<0$ при $-1⩽x<0.$
• $\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\arccos x.$
• $\arcsin x=\{\begin{array}{c}\arccos \sqrt{1-x^2},0⩽x⩽1\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},-1⩽x⩽0\end{array}$
• $\arcsin x=\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\arcsin x=\{\begin{array}{c}\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},0<x⩽1\\ \mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi ,-1⩽x<0\end{array}$

Получение функции arcsin

Дана функция $y=\sin x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=\arcsin x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[-\pi /2;\pi /2]$, на котором функция $y=\sin x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[-\pi /2;\pi /2]$ существует обратная функция $y=\arcsin x$, график которой симметричен графику функции $y=\sin x$ относительно прямой $y=x$.

Функция arccos

График функции $y=\arccos x$

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого $\cos y=x,0⩽y⩽\pi ,|x|⩽1.$

Функция $y=\arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

• $\cos (\arccos x)=x$ при $-1⩽x⩽1,$
• $\arccos (\cos y)=y$ при $0⩽y⩽\pi .$
• $D(\arccos x)=[-1;1]$ (область определения),
• $E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (область значений).
• Функция $x=\arccos u$ обратная функции $u=\cos x$ часто обозначается $x={\cos }^{-1}u$

Свойства функции arccos

• $\arccos (-x)=\pi -\arccos x.$ Функция центрально-симметрична относительно точки $(0;\frac{\pi }{2}),$ является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\arccos x>0$ при $-1⩽x<1.$
• $\arccos x=0$ при $x=1.$
• $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x.$
• $\arccos x=\{\begin{array}{c}\arcsin \sqrt{1-x^2},0⩽x⩽1\\ \pi -\arcsin \sqrt{1-x^2},-1⩽x⩽0\end{array}$
• $\arccos x=\mathrm{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\arccos x=\{\begin{array}{c}\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},0<x⩽1\\ \pi +\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},-1⩽x<0\end{array}$
• $\arccos x=2\arcsin \sqrt{\frac{1-x}{2}}$
• $\arccos x=2\arccos \sqrt{\frac{1+x}{2}}$
• $\arccos x=2\mathrm{arctg}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

Получение функции arccos

Дана функция $y=\cos x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=\arccos x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[0;\pi ]$, на котором функция $y=\cos x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[0;\pi ]$ существует обратная функция $y=\arccos x$, график которой симметричен графику функции $y=\cos x$ относительно прямой $y=x$.

Функция arctg

График функции $y=\mathrm{arctg}x$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла $y,$ выраженное в радианах, для которого $\mathrm{tg}y=x,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}.$

Функция $y=\mathrm{arctg}x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

• $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)=x$ при $x\in \mathbb{ℝ},$
• $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}y)=y$ при $-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2},$
• $D(\mathrm{arctg}x)=(-\mathrm{\infty };\mathrm{\infty })$ (область определения),
• $E(\mathrm{arctg}x)=(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ (область значений).

Свойства функции arctg

• $\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$ (функция является нечётной).
• $\mathrm{arctg}x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$
• $\mathrm{arctg}x=\{\begin{array}{c}\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩾0\\ -\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩽0\end{array}$
• $\mathrm{arctg}x=\pi /2-\mathrm{arcctg}x.$
• $\mathrm{arctg}x=\{\begin{array}{c}\mathrm{arcctg}\frac{1}{x},x>0\\ \mathrm{arcctg}\frac{1}{x}-\pi ,x<0\end{array}$
• $\mathrm{arctg}x=-i\mathrm{arth}ix$, где $\mathrm{arth}$ — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
• $\mathrm{arth}x=i\mathrm{arctg}ix.$

Получение функции arctg

Дана функция $y=\mathrm{tg}x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\mathrm{arctg}x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(-\pi /2;\pi /2)$, на котором функция $y=\mathrm{tg}x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(-\pi /2;\pi /2)$ существует обратная функция $y=\mathrm{arctg}x$, график которой симметричен графику функции $y=\mathrm{tg}x$ относительно прямой $y=x$.

Функция arcctg

График функции $y=\mathrm{arcctg}x$

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\mathrm{ctg}y=x,0<y<\pi .$

Функция $y=\mathrm{arcctg}x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

• $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}x)=x$ при $x\in \mathbb{ℝ},$
• $\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}y)=y$ при $0<y<\pi ,$
• $D(\mathrm{arcctg}x)=(-\mathrm{\infty };\mathrm{\infty }),$
• $E(\mathrm{arcctg}x)=(0;\pi ).$

Свойства функции arcctg

• $\mathrm{arcctg}(-x)=\pi -\mathrm{arcctg}x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $(0;\frac{\pi }{2}).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\mathrm{arcctg}x>0$ при любых $x.$
• $\mathrm{arcctg}x=\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$
• $\mathrm{arcctg}x=\{\begin{array}{c}\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩾0\\ \pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩽0\end{array}$
• $\mathrm{arcctg}x=\pi /2-\mathrm{arctg}x.$
• $\mathrm{arcctg}x=\{\begin{array}{c}\mathrm{arctg}\frac{1}{x},x>0\\ \mathrm{arctg}\frac{1}{x}+\pi ,x<0\end{array}$

Получение функции arcctg

Дана функция $y=\mathrm{ctg}x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\mathrm{arcctg}x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(0;\pi )$, на котором функция $y=\mathrm{ctg}x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(0;\pi )$ существует обратная функция $y=\mathrm{arcctg}x$, график которой симметричен графику функции $y=\mathrm{ctg}x$ относительно прямой $y=x$.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, $x\to -x$) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы $\mathrm{arcctg}x=\mathrm{arctg}(-x)+\pi /2.$

Функция arcsec

График функции $y=\mathrm{arcsec}x$

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\sec y=x,|x|⩾1,0⩽y⩽\pi .$

Функция $y=\mathrm{arcsec}x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

• $\sec (\mathrm{arcsec}x)=x$ при $|x|⩾1,$
• $\mathrm{arcsec}(\sec y)=y$ при $0⩽y⩽\pi .$
• $D(\mathrm{arcsec}x)=(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$ (область определения),
• $E(\mathrm{arcsec}x)=[0;\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2};\pi ]$ (область значений).

Свойства функции arcsec

• $\mathrm{arcsec}(-x)=\pi -\mathrm{arcsec}x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $(0;\frac{\pi }{2}).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\mathrm{arcsec}x⩾0$ при любых $x.$
• $\mathrm{arcsec}x=\{\begin{array}{c}\arcsin \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},x⩾1\\ \pi +\arcsin \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},x⩽-1\end{array}$
• $\mathrm{arcsec}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccosec}x.$
• $\mathrm{arcsec}x=\arccos \frac{1}{x}.$

Функция arccosec

График функции $y=\mathrm{arccosec}x$

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\mathrm{cosec}y=x,|x|⩾1,-\pi /2⩽y⩽\pi /2.$

Функция $y=\mathrm{arccosec}x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

• $\mathrm{cosec}(\mathrm{arccosec}x)=x$ при $|x|⩾1,$
• $\mathrm{arccosec}(\mathrm{cosec}y)=y$ при $-\pi /2⩽y⩽\pi /2.$
• $D(\mathrm{arccosec}x)=(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$ (область определения),
• $E(\mathrm{arccosec}x)=[-\frac{\pi }{2};0)\cup (0;\frac{\pi }{2}]$ (область значений).

Свойства функции arccosec

• $\mathrm{arccosec}(-x)=-\mathrm{arccosec}x$ (функция является нечётной).
• $\mathrm{arccosec}x=\mathrm{arctg}\frac{\mathrm{sgn}x}{\sqrt{x^2-1}}=\{\begin{array}{c}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x>1\\ -\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x<-1\end{array}$
• $\mathrm{arccosec}x=\pi /2-\mathrm{arcsec}x.$
• $\mathrm{arccosec}x=\arcsin \frac{1}{x}.$

Разложение в ряды

• $\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\le 1$
• $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\le 1$
• $\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\le 1$

Производные от обратных тригонометрических функций

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция $f(x)$	Производная $f^{\prime }(x)$	Примечание
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Доказательство                                  Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. $sin(arcsin((x))=x$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. $[sin(arcsin((x)){]}^{\prime }=x^{\prime }$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x){)}^{\prime }=1$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{cos(arcsin(x))}$ Исходя из тригонометрического тождества($si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$) — получаем. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\pm \sqrt{1-si{n}^2(arcsin(x))}}$ Для того что-бы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. $D(cos(x))=[\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{2}]$ Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^2(arcsin(x))}}$ Получается. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: $arcsin(x)+arccos(x)=\frac{\pi }{2}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arcsin(x)+arccos(x){]}^{\prime }=(\frac{\pi }{2}{)}^{\prime }$ $(arcsin(x){)}^{\prime }+(arccos(x){)}^{\prime }=0$ Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccos(x){)}^{\prime }=-(arcsin(x){)}^{\prime }$ Получается. $(arccos(x){)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$	$\frac{1}{1+x^2}$	Доказательство                                  Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции: $tg(arctg(x))=x$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[tg(arctg(x)){]}^{\prime }=1$ $\frac{1}{co{s}^2(arctg(x))}\cdot (arctg(x){)}^{\prime }=1$ Теперь мы должны выразить производную арктангенса: $(arctg(x){)}^{\prime }=co{s}^2(arctg(x))$ Теперь на помощь нам придет на помощь тождество($cos(x)=\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2(x)}}$): $(arctg(x){)}^{\prime }=(\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2(arctg(x))}}{)}^2$ Получается. $(arctg(x){)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$	Доказательство                                  Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: $arctg(x)+arcctg(x)=\frac{\pi }{2}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arctg(x)+arcctg(x){]}^{\prime }=(\frac{\pi }{2}{)}^{\prime }$ $(arctg(x){)}^{\prime }+(arcctg(x){)}^{\prime }=0$ Теперь выражаем производную арккотангенса. $(arcctg(x){)}^{\prime }=-(arctg(x){)}^{\prime }$ Получается. $(arcctg(x){)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$	$\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$	Доказательство                                  Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: $arcsec(x)=arccos(\frac{1}{x})$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $(arcsec(x){)}^{\prime }=(arccos(\frac{1}{x}){)}^{\prime }$ $(arcsec(x){)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\cdot (-\frac{1}{x^2})$ $(arcsec(x){)}^{\prime }=\frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}$ $(arcsec(x){)}^{\prime }=\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}$ Получается. $(arcsec(x){)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$	$-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосеканса можна при помощи данного тождества: $arccosec(x)+arcsec(x)=\frac{\pi }{2}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arccosec(x)+arcsec(x){]}^{\prime }=(\frac{\pi }{2}{)}^{\prime }$ $(arccosec(x){)}^{\prime }+(arcsec(x){)}^{\prime }=0$ Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccosec(x){)}^{\prime }=-(arcsec(x){)}^{\prime }$ Получается. $(arccosec(x){)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

$\begin{array}{rl}\int \arcsin xdx& =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C,\\ \int \arccos xdx& =x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C,\\ \int \mathrm{arctg}xdx& =x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C,\\ \int \mathrm{arcctg}xdx& =x\mathrm{arcctg}x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C,\\ \int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln \left(x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}})\right)+C,\\ \int \mathrm{arccosec}xdx& =x\mathrm{arccosec}x+\ln \left(x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}})\right)+C.\end{array}$

Для действительных x ≥ 1:

$\begin{array}{rl}\int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C,\\ \int \mathrm{arccosec}xdx& =x\mathrm{arccosec}x+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C.\end{array}$

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины $a$ является противолежащим для угла $\alpha$, то

$\alpha =\arcsin (a/c)=\arccos (b/c)=\mathrm{arctg}(a/b)=\mathrm{arccosec}(c/a)=\mathrm{arcsec}(c/b)=\mathrm{arcctg}(b/a).$

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

$\begin{array}{rl}\arcsin z& =-i\ln (iz+\sqrt{1-z^2})=\frac{\pi }{2}-i\ln (z+\sqrt{z^2-1}),\end{array}$

$\begin{array}{rl}\arccos z& =\frac{\pi }{2}+i\ln (iz+\sqrt{1-z^2}),\end{array}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{arctg}z& =\frac{i}{2}(\ln (1-iz)-\ln (1+iz)),\end{array}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{arcctg}z& =\frac{i}{2}(\ln \left(\frac{z-i}{z}\right)-\ln \left(\frac{z+i}{z}\right)),\end{array}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{arcsec}z& =\arccos \left(z^{-1}\right)=\frac{\pi }{2}+i\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{i}{z}),\end{array}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{arccosec}z& =\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{i}{z}).\end{array}$

См. также

• Обратные гиперболические функции
• Теорема Данжуа — Лузина

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
• Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
• Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции