Бет-число

Для термина «Бет» см. также другие значения.

Числа бет ($\beth$) в математике — кардинальные числа, характеризующие мощность бесконечного множества. Последовательность бесконечных кардинальных чисел обычно записывается как ${\beth }_0,{\beth }_1,{\beth }_2,{\beth }_3,\dots$, где $\beth$ названа по второй букве еврейского алфавита (бет).

Числа бет являются частью иерархии алефов (${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,\dots$). Начинаются они одинаково: ${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0,$ а расположение ${\beth }_1$ среди алефов зависит от континуум-гипотезы. Если принять континуум-гипотезу, то ${\beth }_1={\mathrm{\aleph }}_1$ (мощность континуума), верно и обратное. Если принять более мощную обобщённую континуум-гипотезу, то обе иерархии полностью совпадают: ${\beth }_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ для любого индекса $\alpha .$ Если же принять, что континуум-гипотеза неверна, то существует много $\mathrm{\aleph }$, которые не являются $\beth$.

Определение

Общее определение для конечных индексов:

${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0$

${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}$

Для бесконечных индексов:

${\beth }_{\lambda }=\sup \{{\beth }_{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

Примеры.

• бет-ноль (${\beth }_0$) — равен ${\mathrm{\aleph }}_0$.
• бет-один (${\beth }_1$) — множество континуума.
• бет-два (${\beth }_2$) — 2^c, например, множество подмножеств действительных чисел.
• бет-омега (${\beth }_{\omega }$) — наименьший неисчислимый сильный кардинальный предел.

Литература

• Forster T. E. Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 — Beth number is defined on page 5.
• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction (англ.). — reprint of 1974. — Dover Publications, 2006. — ISBN 0-486-44979-3. See pages 6 and 204—205 for beth numbers.
• Roitman, Judith. Introduction to Modern Set Theory (англ.). — Virginia Commonwealth University, 2011. — ISBN 978-0-9824062-4-3. See page 109 for beth numbers.

Ссылки

• Кардиналы и ординалы  (неопр.). https://www.math.wisc.edu/.