Число Коксетера

Число Коксетера  — характеристика конечной неприводимой группы Коксетера. В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли $\mathfrak{𝔤}$, то говорят о числе Коксетера алгебры $\mathfrak{𝔤}$.

Понятие названо в честь Гарольда Коксетера.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений этого числа.

• Число Коксетера равно количеству корней, делённому на ранг. Эквивалентно, число Коксетера равно удвоенному числу отражений в группе Коксетера, делённому на ранг. Если группа построена по простой алгебре Ли, то размерность этой алгебры равна n(h + 1), где n — ранг, и h — число Коксетера.
• Элементом Коксетера (иногда элементом Киллинга — Коксетера) называется произведение всех простых отражений (не путать с элементом группы Коксетера наибольшей длины). Числом Коксетера называется порядок элемента Коксетера.
• Если $\theta =\sum m_i{\alpha }_i$ — разложение старшего корня по простым корням, то число Коксетера равно $1+\sum m_i$.
  • Эквивалентно, если ${\rho }^{\vee }$ — такой элемент, что $⟨{\rho }^{\vee },{\alpha }_i⟩=1$, то $h=⟨{\rho }^{\vee },\theta ⟩+1$.
• Число Коксетера — это наибольшая из степеней базисных инвариантов группы Коксетера.

Таблица значений

Группа Коксетера и символ Шлефли		Граф Коксетера	Диаграмма Дынкина	Число Коксетера $h$	Двойственное число Коксетера $h^{\vee }$	Степени базисных инвариантов
An	[3,3...,3]	...	Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
Bn	[4,3...,3]	...	Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin	2n	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2n
Cn			Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin		n + 1
Dn	[3,3,..31,1]	...	Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin	2n − 2	2n − 2	n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E6	[32,2,1]		Шаблон:Dynkin2	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E7	[33,2,1]		Шаблон:Dynkin2	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8	[34,2,1]		Шаблон:Dynkin2	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4	[3,4,3]		Шаблон:Dynkin Шаблон:Dynkin	12	9	2, 6, 8, 12
G2	[6]		Шаблон:Dynkin Шаблон:Dynkin	6	4	2, 6
H3	[5,3]		-	10		2, 6, 10
H4	[5,3,3]		-	30		2, 12, 20, 30
I2(p)	[p]		-	p		2, p

Вариации и обобщения

Дуальное число Коксетера

В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли $\mathfrak{𝔤}$, можно ввести дуальное (двойственное) число Коксетера $h^{\vee }$. Такое понятие, видимо, впервые появилось в статье Спрингера и Стейнберга 1970 года и часто встречается в теории представлений. Определить это число можно любым из следующих способов.

• Если $\rho$ — это полусумма положительных корней, а $\theta$ — это старший корень, то $h^{\vee }=⟨\rho ,\theta ⟩+1$.
• Если ${\theta }_m=\sum m_i{\alpha }_i$ — это старший из коротких корней, разложенный по простым корням, то $h^{\vee }=\sum m_i+1$.
• Удвоенное дуальное число Коксетера равно отношению двух инвариантных симметричных билинейных форм на алгебре Ли $\mathfrak{𝔤}$: формы Киллинга и формы, в которой старший корень имеет длину 2.
• По таблице выше.

Для алгебр Ли с простыми связями число Коксетера и дуальной число Коксетера совпадают. Дуальное число число Коксетера не следует путать с числом Коксетера дуальной алгебры Ли.

Для аффинной алгебры Ли $\widehat{\mathfrak{𝔤}}$ значение уровня, равное $-h^{\vee }$, называется критическим, при этом значении универсальная обертывающая алгебра имеет большой центр.

Ссылки

• Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972.
• J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
• Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960