Эйлеровы числа

Не следует путать с числами Эйлера I рода.

Не следует путать с числами Эйлера II рода.

Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа $E_0,E_1,E_2,\dots$, использующиеся при разложении гиперболического секанса в степенной ряд

$\frac{1}{\mathrm{ch}(t)}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n\cdot t^n}{n!}$.

Здесь ch(t) обозначает гиперболический косинус.

Так как функция ch(t) чётная, то

$E_1=E_3=E_5=\dots =E_{2n+1}=\dots =0$

Начальные числа Эйлера с чётными индексами (последовательность A028296 в OEIS):

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1385

E₁₀ = −50521

Эйлеровы числа связаны с числами Бернулли следующими соотношениями:

$E_{n-1}=\frac{(4B-1{)}^n-(4B-3{)}^n}{2n},$

$E_{2n}=\frac{4^{2n+1}}{2n+1}(B-0.25{)}^{2n+1}.$

После раскрытия скобок степень числа B следует заменить на индекс.

Литература

• Эйлеровы числа // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1984-1985. — Том 5, стр. 937.