Число Белла

Число Белла — число всех неупорядоченных разбиений $n$-элементного множества, обозначаемое $B_n$, при этом по определению полагают $B_0=1$.

Значения $B_n$ для $n=0,1,2,\dots$ образуют последовательность:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21 147, 115 975, …

Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить $n$ пронумерованных шаров по $n$ идентичным коробкам. Кроме этого, числа Белла дают возможность узнать сколько существует способов разложить на множители составное число, состоящее из $n$ простых множителей.

Числа Белла названы в честь Эрика Белла, который писал о них в 1930-х годах.

Математические свойства

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

$B_n=\sum _{m=0}^{n}S(n,m),$

а также задать в рекуррентной форме:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k.$

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского:

$B_n=\frac{1}{e}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{k!}.$

Если $p$ — простое, то верно сравнение Тушара:

$B_{n+p}\equiv B_n+B_{n+1}(\mathrm{mod}p)$

и более общее:

$B_{n+p^m}\equiv m{B}_n+B_{n+1}(\mathrm{mod}p).$

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n=e^{e^x-1}.$

Литература

• Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа : Ноль, 666 и другие бестии. — М. : «Де Агостини», 2014. — Т. 21. — 160 с. — (Мир математики: в 40 т.). — ББК 22.1. — УДК 51(0.062). — ISBN 978-5-9774-0682-6.
• Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высшая школа, 2006. — 392 с. — ISBN 5-06-005683-X.

Ссылки

• Bell, E. T. (1934). «Exponential polynomials». Annals of Mathematics 35: 258–277. doi:10.2307/1968431..
• Bell, E. T. (1938). «The iterated exponential integers». Annals of Mathematics 39: 539–557. doi:10.2307/1968633..