Канторова лестница

Канторова лестница

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции $[0,1]\to [0,1]$, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».

Построения

Стандартное

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части $(0,\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3},1)$. На среднем сегменте полагаем $F(x)=\frac{1}{2}$. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах $F(x)$ полагается равной $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах $F(x)$ определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями $F(x)$. На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записи

Любое число $x\in [0,1]$ можно представить в троичной системе счисления $x=(0,a_1{a}_2\dots {)}_3$, $a_i\in \{0,1,2\}$. Если в записи $0,a_1{a}_2\dots$ встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность $0,b_1{b}_2\dots$ даёт запись значения канторовой лестницы в точке $x$ в двоичной системе счисления.

Свойства

• Производная канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках, кроме канторова множества.
• Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.
• Канторова лестница не обладает свойством Лузина.

См. также

• Функция Минковского
• Фрактал