Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

• $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
• ${(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Разница двух квадратов

Каждая разница двух квадратов может быть представлена в виде произведения по формуле

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Доказательство

Математическое доказательство закона сложное. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

$(a+b)(a-b)=a^2+ba-ab-b^2$

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

$ba-ab=0$

и остаётся

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

$a^2+ba-ab-b^2$.

Чтобы это было равно $a^2-b^2$, мы должны иметь

$ba-ab=0$

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

• $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
• ${(a+b+c)}^3=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a^{2}c+3a{b}^2+3a{c}^2+3b^{2}c+3b{c}^2+6abc$

Формулы для четвёртой степени

• $(a\pm b{)}^4=a^4\pm 4a^{3}b+6a^2{b}^2\pm 4a{b}^3+b^4$
• $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (выводится из $a^2-b^2$)
• $a^4+b^4=(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)$

Формулы для n-й степени

• $a^n\pm b^n=(a\pm b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
• $a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}{b}^2-...-a^2{b}^{2n-3}+a{b}^{2n-2}-b^{2n-1})$, где $n\in N$
• $a^{2n}-b^{2n}=(a^n+b^n)(a^n-b^n)$
• $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}{b}^2-...+a^2{b}^{2n-2}-a{b}^{2n-1}+b^{2n})$, где $n\in N$

В комплексных числах

• $a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a+\frac{\mp 1+\sqrt{3}i}{2}b)(a+\frac{\mp 1-\sqrt{3}i}{2}b)$
• $a^4-b^4=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)$
• $a^4+b^4=(a+\frac{1+i}{\sqrt{2}}b)(a+\frac{-1+i}{\sqrt{2}}b)(a+\frac{-1-i}{\sqrt{2}}b)(a+\frac{1-i}{\sqrt{2}}b)$

Для произвольной чётной степени:

• $a^n\pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\mp 1}b)$, где $\sqrt[n]{\mp 1}$ пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• $a^n\pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\pm 1}b)$, где $\sqrt[n]{\pm 1}$ пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

• $(a-b{)}^{2n}=(b-a{)}^{2n}$, где $n\in N$
• $(a-b{)}^{2n+1}=-(b-a{)}^{2n+1}$, где $n\in N$

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Литература

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.