Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.

Формулировки[править]

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках

Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:

\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}} = \frac{A_{2} A_{3}}{B_{2} B_{3}} = \frac{A_{1} A_{3}}{B_{1} B_{3}} .

Замечания[править]

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае не параллельных прямых

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые $A A_{1} | | B B_{1} | | C C_{1} | | D D_{1}$ и при этом $A B = C D$ .

Проведём через точки $A$ и $C$ прямые, параллельные другой стороне угла. $A B_{2} B_{1} A_{1}$ и $C D_{2} D_{1} C_{1}$ . Согласно свойству параллелограмма: $A B_{2} = A_{1} B_{1}$ и $C D_{2} = C_{1} D_{1}$ .
Треугольники $△ A B B_{2}$ и $△ C D D_{2}$ равны на основании второго признака равенства треугольников

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

История[править]

Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Началах» Евклида (предложение 2 книги VI).

Вариации и обобщения[править]

Обратная теорема[править]

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что $\frac{C B_{1}}{C A_{1}} = \frac{B_{1} B_{2}}{A_{1} A_{2}} = \dots$ , следует, что $A_{1} B_{1} | | A_{2} B_{2} | | \dots$ .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского[править]

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

Пусть $f$ — проективное соответствие между точками прямой $l$ и прямой $m$ . Тогда множество прямых $X f (X)$ будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть $f$ — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых $X f (X)$ будет коника (возможно, вырожденная).

В культуре[править]

Аргентинская комедийная музыкальная группа Les Luthiers^[исп.] представила песню, посвящённую теореме^[1];

Ёшикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.

См. также[править]

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Примечания[править]

↑ Les Luthiers, Teorema de Thales, Aquí Les Luthiers на YouTube

Литература[править]

Геометрия по Киселёву, § 188.

Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7—9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.

[1] Les Luthiers, Teorema de Thales, Aquí Les Luthiers на YouTube

[1]