Теорема Майерса

Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

Формулировка

Если кривизна Риччи полного $n$-мерного риманова многообразия $M$ ограничена снизу положительной величиной $(n-1)k$ при некотором $k$, то его диаметр не превосходит $\pi /\sqrt{k}$. Более того, если диаметр равен $\pi /\sqrt{k}$, то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны $k$.

Следствия

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия $M$. В частности, универсальное накрытие $M$ конеченолистно и значит фундаментальная группа ${\pi }_{1}M$ конечна.

История

Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.

Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны, (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).

Теорема доказана Майерсом.

Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.

См. также

• Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)