Неравенство

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков^[1]. Неравенства играют более важную роль в высшей математике, по сравнению с элементарной математикой. Это связано с тем, что в высшей математике, точное значение $x$ часто сложно установить, тогда как легко можно оценить значение $x$ , показав, что оно больше какого то известного значения $a$ и меньше другого известного значения $b$ . Зачастую этой информации достаточно для определения значения $x$ .^[2]

Строгие неравенства

$a < b$ — означает, что $a$ меньше, чем $b .$
$a > b$ — означает, что $a$ больше, чем $b .$

Неравенства $a > b$ и $b < a$ равносильны. Говорят, что знаки $>$ и $<$ противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что $<$ заменено на $>$ или наоборот.

Нестрогие неравенства

$a ⩽ b$ — означает, что $a$ меньше или равно $b .$
$a ⩾ b$ — означает, что $a$ больше или равно $b .$

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

$a \neq b$ — означает, что $a$ не равно $b$ .
$a ≫ b$ — означает, что величина $a$ намного больше, чем $b .$
$a ≪ b$ — означает, что величина $a$ намного меньше, чем $b .$

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения[править]

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

a < b < c

— это краткая запись пары неравенств:

a < b

и

b < c .

Числовые неравенства[править]

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных $(x, y, \dots) .$ Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство $18 x < 414$ — алгебраическое первой степени, неравенство $2 x^{3} - 7 x + 6 > 0$ — алгебраическое третьей степени, неравенство $2^{x} > x + 4$ — трансцендентное^[3].

Свойства[править]

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений^[1]:

К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из $a + b < c$ следует, что $a < c - b .$
Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, $a < b$ и $c < d,$ то $a + c < b + d .$ Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
Транзитивность: если $a < b$ и $b < c,$ то $a < c$ и аналогично для прочих знаков.

Противоположность[править]

Встречается также вариант написания: Противоположное число.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Если Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle a ≤ b} , то Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle −a ≥ −b.}

Решение неравенств[править]

Пусть даны функции

f (x)

и

g (x)

. Если требуется найти все числа

α

из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство

f (α) > g (α)

, то говорят, что требуется решить неравенство

f (x) > g (x) .

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

x^{2} < 4

выполняется при

- 2 < x < 2 .

x^{2} > 4

выполняется, если

x > 2

или

x < - 2 .

x^{2} < - 4

не выполняется никогда (решений нет).

x^{2} > - 4

выполняется при всех

x

(тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство $x > 3$ возвести в квадрат: $x^{2} > 9,$ то появится ошибочное решение $x < - 3,$ не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени[править]

Неравенство первой степени имеет общий формат: $a x > b$ или $a x < b,$ где $a \neq 0$ (работа со знаками $⩾$ и $⩽$ аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на $a$ и, если $a < 0,$ измените знак неравенства на противоположный^[4]. Пример:

5 x - 11 > 8 x + 1 .

Приведём подобные члены:

- 3 x > 12,

или

x < - 4 .

Системы неравенств первой степени[править]

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы ${\begin{cases} 4 x - 3 > 5 x - 5 \\ 2 x + 4 < 8 x \end{cases}$ получаем два решения: для первого неравенства $x < 2,$ для второго: $x > \frac{2}{3} .$ Соединяя их, получаем ответ: $\frac{2}{3} < x < 2 .$

Пример 2. ${\begin{cases} 2 x - 3 > 3 x - 5 \\ 2 x + 4 > 8 x \end{cases}$ Решения: $x < 2$ и $x < \frac{2}{3} .$ Второе решение поглощает первое, так что ответ: $x < \frac{2}{3} .$

Пример 3. ${\begin{cases} 2 x - 3 < 3 x - 5 \\ 2 x + 4 > 8 x \end{cases}$ Решения: $x > 2$ и $x < \frac{2}{3},$ они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени[править]

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

x^{2} + p x + q > 0

или

x^{2} + p x + q < 0 .

Если квадратное уравнение $x^{2} + p x + q = 0$ имеет вещественные корни $x_{1}, x_{2},$ то неравенство можно привести к виду соответственно:

(x - x_{1}) (x - x_{2}) > 0

или

(x - x_{1}) (x - x_{2}) < 0 .

В первом случае $x - x_{1}$ и $x - x_{2}$ должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило^[5].

Квадратный трёхчлен $x^{2} + p x + q$ с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех $x .$ Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры^[6]).

Пример 1. $- 2 x^{2} + 14 x - 20 > 0 .$ Разделив на $- 2,$ приведём неравенство к виду: $x^{2} - 7 x + 10 < 0 .$ Решив квадратное уравнение $x^{2} - 7 x + 10 = 0,$ получаем корни $x_{1} = 2; x_{2} = 5,$ поэтому исходное неравенство равносильно такому: $(x - 2) (x - 5) < 0 .$ Согласно приведенному выше правилу, $2 < x < 5,$ что и является ответом.

Пример 2. $- 2 x^{2} + 14 x - 20 < 0 .$ Аналогично получаем, что $x - 2$ и $x - 5$ имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, $x < 2,$ или $x > 5 .$

Пример 3. $x^{2} + 6 x + 15 > 0 .$ Уравнение $x^{2} + 6 x + 15 = 0$ не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех $x .$ При $x = 0$ левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех $x$ ).

Пример 4. $x^{2} + 6 x + 15 < 0 .$ Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах^[7].

Прочие неравенства[править]

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства[править]

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы^[8].

$a + \frac{1}{a} ⩾ 2,$ где $a > 0 .$ Равенство имеет место только при $a = 1 .$
$\sqrt{a b} ⩽ \frac{a + b}{2},$ где $a, b > 0 .$ Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при $a = b .$
Неравенство о средних
Неравенство Бернулли:

(1 + x)^{n} ⩾ 1 + n x,

где

x ⩾ - 1, n

— положительное число, большее 1.

| a + b | ⩽ | a | + | b |

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования[править]

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

символ	языки
!=	C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<>	Basic, Pascal, 1С
~=	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенств[править]

символ	изображение	Юникод		русское название	HTML			LaTeX
символ	изображение	код	название	русское название	шестнадцатеричное	десятичное	мнемоника	LaTeX
<	$<$	U+003C	Less-than sign	Меньше	<	<	<	<, \textless
>	$>$	U+003E	Greater-than sign	Больше	>	>	>	>, \textgreater
⩽	$⩽$	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше или равно	⩽	⩽	нет	\leqslant
⩾	$⩾$	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше или равно	⩾	⩾	нет	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Less-than or equal to	Меньше или равно	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Greater-than or equal to	Больше или равно	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	$≪$	U+226A	Much less-than	Много меньше	≪	≪	нет	\ll
≫	$≫$	U+226B	Much greater-than	Много больше	≫	≫	нет	\gg

См. также[править]

Сравнение (программирование)

Примечания[править]

↑ ^1,0 ^1,1 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
↑ Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах).
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

Литература[править]

Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.

[ME-1] 1,0 ^1,1 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.

[2] Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах).

[_88eba2517a55a716-3] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.

[_88eba2517a55a719-4] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.

[_654a81d94436ba17-5] Элементарная математика, 1976, с. 217—222.

[_8b6c66b23962a266-6] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.

[_ac70a70cce22e51e-7] Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.

[_6a59c3bb4e1f95d5-8] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]