Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция $f(x,y)=\frac{xy}{(x^2+y^2)},f(0,0)=0$ бесконечно дифференцируема по $x$ (или $y$) когда $y$ (или $x$) является фиксированным, но $f$ даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция $F$ определена в открытом множестве $\mathrm{\Omega }$ $n$-мерного комплексного пространства ${\mathbb{ℂ}}^n$ и аналитическая по каждому переменному $z_j$, когда другие переменные фиксированы, то функция $F$ является аналитической в $\mathrm{\Omega }$.

История

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд

Литература

• Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.: Мир, 1968. — 280 с.