Вариация (статистика)

Вариа́ция — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.

Показатели вариации

Абсолютные показатели

• размах вариации:

$R=x_{\max }-x_{\min };$

• среднее линейное отклонение:

$a=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|x_i-\overline{x}|,$

где $\overline{x}$ — выборочное среднее.

• среднеквадратическое отклонение:

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2};$

• дисперсия:

${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2;$

• среднее квартильное (квантильное) расстояние:

$q=\frac{(Q_3-\mathrm{M}\mathrm{e})+(\mathrm{M}\mathrm{e}-Q_1)}{2}=\frac{(Q_3-Q_1)}{2},$

где $Q_1$, $Q_3$ — первый (нижний) и третий (верхний) квартили соответственно, $\mathrm{M}\mathrm{e}=Q_2$ — медиана (второй или серединный квартиль).

Относительные показатели

• относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

$\rho =\frac{R}{\overline{x}};$

• относительное отклонение по модулю (линейный коэффициент вариации):

$m=\frac{a}{\overline{x}};$

• коэффициент вариации:

$V=\frac{\sigma }{\overline{x}};$

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от среднего квадратического или стандартного отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. По мнению автора рассматриваемого коэффициента К. Пирсона — коэффициент вариации эффективнее абсолютного показателя вариации.

Известно, что коэффициент вариации может быть записан посредством долей:

$V=\sqrt{n\sum _{i=1}^n{p}_i^2-1},$

где $p_i=\frac{x_i}{\sum _{i=1}^n{x}_i}$.

$\nu =\frac{\sigma }{\mu },$

где $\mu$ — математическое ожидание. Эта формула применяется для вероятностных моделей.

• относительное квартильное расстояние:

$d=\frac{q}{\overline{x}}.$