Идемпотентность

Идемпоте́нтность (лат. idem «тот же самый» + potens «способный») — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при первом. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов.

Примеры идемпотентных операций:

сложение с нулём: $a = a + 0 = (a + 0) + 0 = ((a + 0) + 0) + 0 = \dots$ ;
умножение на единицу: $x = x * 1 = (x * 1) * 1 = ((x * 1) * 1) * 1 = \dots$ ;
модуль числа: $| x | = | (| x |) | = | (| (| x |) |) | = \dots$ ;
выбор максимального значения: $\max (x, y) = \max (\max (x, y), y) = \max (x, \max (x, y))$ ;
вычисление наибольшего общего делителя: $\gcd (x, y) = \gcd (\gcd (x, y), y) = \gcd (x, \gcd (x, y))$ ;
сложение по модулю 2 с нулём: $a = a \oplus 0 = (a \oplus 0) \oplus 0 = \dots$ ;
нахождение остатка от деления: $r = a mod b = (a mod b) mod b = \dots$ ;
возведение в степень единицы: $a^{1} = (a^{1})^{1} = ((a^{1})^{1})^{1} \dots$ .

Элемент[править]

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: $e^{2} = e$ . Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент $e$ содержит идемпотентный элемент $f$ (обозначается $e ⩾ f$ ), если $e f = e = f e$ . Отношение $⩾$ является отношением частичного порядка в множестве $E$ идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве $E$ .

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) $u$ и $v$ называются ортогональными, если $u v = 0 = v u$ .

Операция[править]

Встречается также вариант написания: Идемпотентная матрица. Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

\forall x : x \cdot x = x

.

Этим свойством обладают, например, логическое И и логическое ИЛИ.

Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется $\forall x : f (f (x)) = f (x)$ , или $f \circ f = f$ .

Из линейных операторов в $ℝ^{n}$ идемпотентны только тождественный оператор, нулевой оператор и параллельная проекция. Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как $P \circ P = P$ .

В информатике[править]

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать идентичные ответы на идентичные GET-запросы (при условии, что ресурс не изменился). Это позволяет корректно кэшировать эти ответы, снижая нагрузку на сеть.

Для препроцессора языка Си директива «#include "xxx.h"» является идемпотентной, если в заголовочном файле есть защита от двойного включения.

Литература[править]

Peirce B. Linear Associative Algebra. 1870.
Gunawardena, Jeremy (1998), An introduction to idempotency, in Gunawardena, Jeremy, Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994, Cambridge: Cambridge University Press, с. 1–49, <http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf>
Идемпотентность — статья из Математической энциклопедии. Иванова О. А.