Закон Рэлея — Джинса

Зако́н Рэле́я — Джинса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения $u(\omega ,T)$ и испускательной способности $I(\omega ,T)$ абсолютно чёрного тела, который получили Рэлей и Джинс в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), указывавшему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче.

Вывод формулы

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей $kT$. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

$\mathrm{d}{n}_{\omega }=\frac{{\omega }^2\mathrm{d}\omega }{2{\pi }^2{v}^3}$.

Зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

В нашем случае скорость $v$ следует положить равной $c$, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда выписанное выражение вдобавок следует помножить на два:

$\mathrm{d}{n}_{\omega }=\frac{{\omega }^2\mathrm{d}\omega }{{\pi }^2{c}^3}$.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию $\bar{\epsilon }=kT$. Помножив на $\bar{\epsilon }$, получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот $\mathrm{d}\omega$:

$u(\omega ,T)\mathrm{d}\omega =\bar{\epsilon }\mathrm{d}{n}_{\omega }=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}\mathrm{d}\omega$,

тогда:

$u(\omega ,T)=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}$.

Можно перейти от аргумента «частота $\omega$» к аргументу «длина волны $\lambda$» ($\omega =2\pi c/\lambda$):

$u(\lambda ,T)=u(\omega ,T)|\frac{d\omega }{d\lambda }|=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}\cdot \frac{2\pi c}{{\lambda }^2}=\frac{8\pi kT}{{\lambda }^4}$.

Также можно перейти от аргумента «частота $\omega$» к аргументу «частота $\nu$» в герцах ($\omega =2\pi \nu$):

$u(\nu ,T)=u(\omega ,T)|\frac{d\omega }{d\nu }|=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}\cdot 2\pi =\frac{8\pi {\nu }^{2}kT}{c^3}$.

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ $u$ снабжают значком: $u_{\omega }$, $u_{\nu }$ или $u_{\lambda }$.

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела $I(\omega ,T)$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения $I(\omega ,T)=\frac{c}{4}u(\omega ,T)$, для $I(\omega ,T)$ находим:

$I(\omega ,T)=kT\frac{{\omega }^2}{4{\pi }^2{c}^2}$.

Выражения для $u(\omega ,T)$ и $I(\omega ,T)$ называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Основная статья: Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы для $u(\omega ,T)$ и $I(\omega ,T)$ удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование $u(\omega ,T)$ по $\omega$ в пределах от 0 до $\mathrm{\infty }$ для равновесной плотности энергии $u(T)$ дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях $u(T)$. Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции $u(\omega ,T)$, соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемой формулой Планка.