Квазициклическая группа

Квазициклическая 2-группа

Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Обычно обозначается как Z(p^∞)

Квазициклическую p-группу также её называют p-группой Прюфера, в честь немецкого математика Хайнца Прюфера.

Свойства

Квазициклическая p-группа может быть представлена как подгруппа U(1), состоящая из комплексных корней из единицы степени pⁿ, где n пробегает все натуральные числа:

$\mathbb{\mathbb{Z}}(p^{\mathrm{\infty }})=\{\exp (2\pi im/p^n)\mid m\in \mathbb{\mathbb{N}},n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}.$

Эквивалентным образом, квазициклическую p-группу можно рассматривать как подгруппу Q/Z, состоящую из элементов, порядок которых является степенью p:

$\mathbb{\mathbb{Z}}(p^{\mathrm{\infty }})=\mathbb{\mathbb{Z}}[1/p]/\mathbb{\mathbb{Z}}.$

Также p-группа Прюфера может быть задана образующими и соотношениями:

$\mathbb{\mathbb{Z}}(p^{\mathrm{\infty }})=⟨g_1,g_2,g_3,\dots \mid g_1^p=1,g_2^p=g_1,g_3^p=g_2,\dots ⟩.$

Квазициклическая p-группа — это единственная бесконечная p-группа, являющаяся локально циклической (то есть такой, что любое конечное подмножество её элементов порождает циклическую группу). Нетрудно видеть, что все собственные подгруппы квазициклической группы являются циклическими.

Квазициклическая группа является делимой.

В теории локально компактных топологических групп квазициклическая p-группа, снабжённая дискретной топологией, является двойственной по Понтрягину к компактной группе целых p-адических чисел.

Квазициклические p-группы, для всевозможных простых p — это единственные бесконечные группы, такие что множество их подгрупп линейно упоядочено по вложению:

$0\subset \mathbf{𝐙}/p\subset \mathbf{𝐙}/p^2\subset \mathbf{𝐙}/p^3\subset \cdots \subset \mathbf{𝐙}(p^{\mathrm{\infty }}).$

На этой цепочке включений p-группа Прюфера представлена как прямой предел своих конечных подгрупп.

Как $\mathbb{\mathbb{Z}}$-модуль, p-группа Прюфера является артиновой, но не является нётеровой (аналогично, она является артиновой, но не нётеровой группой). В таком качестве она является контрпримером к возможному утверждению о том, что любой артинов модуль нётеров.

Ссылки

• quasicyclic group (англ.) на сайте PlanetMath.
• Н. Н. Вильямс. Quasi-cyclic group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Jacobson, Nathan. Basic Algebra. — Dover, 2009. — ISBN 978-0-486-47187-7.
• Pierre Antoine Grillet. Abstract Algebra. — Springer, 2007. — ISBN 978-0-387-71567-4.
• D. L. Armacost and W. L. Armacost. On p-thetic groups (англ.) // Pacific J. Math.. — 1972. — Vol. 41, no. 2. — P. 295–301.