Правильный шестиугольник

Шестиугольник
Правильный шестиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	6
Символ Шлефли	{6}, t{3}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D6)
Площадь	$\frac{3\sqrt{3}}{2}{R}^2$ $=\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^2$ $=2\sqrt{3}{r}^2$
Внутренний угол	120°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный, изотоксальный

Правильный шестиугольник (или гексагон от греч. εξάγωνο) — правильный многоугольник с шестью сторонами.

Свойства

• Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности ($R=t$), поскольку $2\sin \frac{\pi }{6}=1$.
• Все углы равны 120°.
• Радиус вписанной окружности равен:

  $r=\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{2}t$

• Периметр правильного шестиугольника равен:

  $P=6R=4\sqrt{3}r$

• Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

  $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{R}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^2$

  $S=2\sqrt{3}{r}^2$

• Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
• Правильный шестиугольник со стороной $\frac{1}{\sqrt{3}}$ является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (лемма Пала).

Построение

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Построение правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

• Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
• Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
• Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
• Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
• Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
• Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками. Под названием звезда Давида она является символом иудаизма.
• Гексагоном иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.

Слева направо:
Пчелиные соты;
Графен — одна из аллотропных модификаций углерода;
Гигантский гексагон.

См. также

• Шестиугольник
• Упаковка кругов на плоскости

Ссылки

• Шестиугольный мир (ЖЖ-сообщество)